שינויים
/* דוגמאות */
# נמצא את טור מקלורין של <math>f(x)=\arctan(x)</math>, ונקבע את תחום ההתכנסות של הטור ל-f.<br/>''דרך 1:'' טור מקלורין הוא <math>\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n</math>, כאשר {{left|<math>\begin{align}f(x)&=\arctan(x)\\f'(x)&=\frac1{1+x^2}\\f''(x)&=\frac{-2x}{\left(1+x^2\right)^2}\end{align}</math>}}מכאן ואילך לא נעים לגזור, ולכן נוותר על הדרך הזו.<br/>''דרך 2:'' תחילה נחשב טור מקלורין לפונקציה <math>g(x)=\frac1{1+x^2}</math> ואז נוכל לקבל את הטור עבור <math>\arctan(x)</math> ע"י אינטגרציה איבר-איבר. כעת: <math>\frac1{1+x^2}=\frac1{1-\left(-x^2\right)}=\sum_{n=0}^\infty \left(-x^2\right)^n=\sum_{n=0}^\infty (-1)^nx^{2n}</math> עבור <math>\left|-x^2\right|<1</math>, ז"א <math>|x|<1</math>. עתה נעשה אינטגרציה: <math>\int\limits_0^x\frac{\mathrm dt}{1+t^2}=\sum_{n=0}^\infty\int\limits_0^x(-1)^nt^{2n}\mathrm dt</math> לכל <math>|x|<1</math>, ולכן <math>\arctan(x)=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}</math>. עפ"י משפט היחידות לטורי חזקות נסיק שזה טור מקלורין של <math>\arctan</math> בתחום <math>(-1,1)</math>. {{משל}} אם מותר להציב <math>x=1</math> אז נקבל את המשוואה היפה <math>\frac\pi4=1-\frac13+\frac15-\frac17+\dots</math>, אבל מכיוון שלא מתקיים <math>|1|<1</math> צריך להוכיח זאת (את ההוכחה ניתן בהרצאה הבאה). עם זאת, ניתן כבר עכשיו לדעת בוודאות ש-<math>\frac\pi6=\frac{\frac1\sqrt3}1-\frac{\left(\frac1\sqrt3\right)^3}3+\frac{\left(\frac1\sqrt3\right)^5}5-\frac{\left(\frac1\sqrt3\right)^7}7+\dots=\frac1\sqrt3\left(1-\frac1{3\cdot3}+\frac1{3^2\cdot5}-\frac1{3^3\cdot7}+\dots\right)</math>.
# מצאו את טור טיילור ל-<math>\ln(x)</math> סביב <math>x_0=1</math> וקבעו באיזה תחום הטור מתכנס ל-<math>\ln(x)</math>.<br/>''דרך 1:'' לפי הנוסחה לטור טיילור נקבל <math>\sum_{n=0}^\infty\frac{\ln^{(n)}(1)}{n!}(x-1)^n</math> ואז נבדוק מתי השארית <math>R_N(x)</math> שואפת ל-0 (כבר פתרנו דוגמאות אחרות בדרך זו ולכן אין טעם לעשות זאת שוב).<br/>''דרך 2:'' <math>\ln(x)=\int\limits_1^x\frac{\mathrm dt}t</math> ולכן תחילה נפתח <math>\frac1x</math>: <math>\frac1x=\frac1{1-(-x+1)}=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n(x-1)^n</math> כאשר <math>|x-1|<1</math>. כעת <math>\ln(x)=\sum_{n=0}^\infty\int\limits_1^x(-1)^n(x-1)^n\mathrm dx=\sum_{n=1}^\infty (-1)^n\frac{(x-1)^{n+1}}{n+1}</math> בתחום <math>|x-1|<1</math>. {{משל}} עבור <math>x=2</math> לא מתקיים <math>|x-1|<1</math>, אבל אם בכל זאת ההצבה הזו נכונה אז נקבל <math>\ln(2)=1-\frac12+\frac13-\frac14+\dots</math> (בהרצאה הבאה נוכיח שזה נכון).
# {{הערה|(תרגיל ממבחן)}} נגדיר <math>f(x)=x^7e^{-x^2}</math>. מצאו <math>f^{(19)}(0)</math>: לכל <math>t\in\mathbb R</math> מתקיים <math>e^t=\sum_{n=0}^\infty \frac{t^n}{n!}</math> ונציב <math>t=-x^2</math> לקבל <math>f(x)=x^7e^{-x^2}=x^7\sum_{n=0}^\infty\frac{\left(-x^2\right)^n}{n!}=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n!}x^{2n+7}</math>. לפי משפט 4 המקדם <math>a_{19}</math> של <math>x^{19}</math> מקיים <math>a_{19}=\frac{(-1)^6}{6!}=\frac{f^{(19)}(0)}{19!}</math> ולכן <math>f^{(19)}(0)=\frac{19!}{6!}</math>. {{משל}}
==מבוא למשוואות דיפרנציאליות רגילות (מד"ר)==
