{{הערההמשך הגיע|את תיאור=רשימת המשפטים לאינטגרלים לא אמיתיים מסוג II לא סיימנו בהרצאה הקודמת ולכן השלמנו אותו ב-3.5.11. [[משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/|תאריך=1.5.11#continue|חלק זה]] מופיע בסיכום ההרצאה הקודמת ולא בדף הנוכחי.}}
=אינטגרל לא אמיתי, סוג II {{הערה|(המשך)}}=
<math>\int\limits_0^{2\pi}\frac{\sin(x)}{\sqrt x\sqrt{|x-\pi|}^3}\mathrm dx</math> - מתכנס או מתבדר?
נסמן <math>f(x)=\frac{\sin(x)}{\sqrt x\sqrt{|x-\pi|}^3}</math>. לפונקציה יש נקודת אי-רציפות סליקה באפס כי <math>\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}\frac{\sin(x)}x\cdot\frac x\sqrt x\cdot\frac1{\sqrt{|x-\pi|}^3}=1\cdot0\cdot\frac1{\sqrt \pi^3}=0</math>. כמו כן יש נקודת אי-ראציפות רציפות ממין שני רק ב-<math>\pi</math> ולכן ונרשום: <math>I_1:=\int\limits_0^\pi f\ \and\ I_2:=\int\limits_\pi^{2\pi} f</math>.
f אי-שלילית בקטע <math>[0,\pi]</math>. לכן נגדיר <math>g(x):=\frac1\sqrt{x-\pi}</math> ונחשב <math>\lim_{x\to\pi^-}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to\pi^-}\frac{\sin(x)}{\sqrt x(\pi-x)}=\frac1\sqrt\pi\lim_{x\to\pi^-}\frac{\sin(x)}{\pi-x}=\frac1\sqrt\pi\lim_{x\to\pi^-}\frac{\cos(x)}{-1}=\frac1\sqrt\pi\in\mathbb R</math> ולכן <math>I_1</math> מתכנס אם <math>\int\limits_0^\pi g</math> מתכנס, מה שאכן מתקיים: <math>\int\limits_0^\pi g=\int\limits_0^\pi(\pi-x)^{-1/2}\mathrm dx=\left[-2\sqrt{\pi-x}\right]_{x=0}^\pi=2\sqrt\pi</math>. באותו אופן אפשר להוכיח התכנסות <math>I_2</math> (השוואה עם <math>\frac{-1}\sqrt{x-\pi}</math>). מכאן שאינטגרל הנתון מתכנס. {{משל}}