שינויים

'''הוכחה:''' נניח בשלילה ש-e רצינלי ונסמן <math>e=\frac pq</math> עבור <math>p,q\in\mathbb N</math>. לכן <math>q!e=(q-1)!p\in\mathbb N</math>, אבל <math>q!e=\underbrace{q!+q!+\frac{q!}{2!}+\frac{q!}{3!}+\dots+\frac{q!}{q!}}_{\in\mathbb N}+\underbrace{\frac1{q+1}+\frac1{(q+1)(q+2)}+\dots}_{<\sum_{n=1}^\infty\frac1{q^n}=\frac1{1-q-1}<1}</math>, כלומר <math>q!e</math> הוא מספר טבעי השווה למספר טבעי ועוד מספר לא שלם, בסתירה. {{משל}}