# נבדוק למה שווה הטור <math>\sum_{n=1}^\infty nx^n</math> עבור <math>|x|<1</math>:{{left|<math>\begin{align}\sum_{n=1}^\infty nx^n&=\left(x+x^2+x^3+\dots\right)+\left(x^2+x^3+\dots\right)+\left(x^3+\dots\right)+\dots\\&=\frac x{1-x}+\frac{x^2}{1-x}+\frac{x^3}{1-x}+\dots\\&=\frac x{1-x}\sum_{n=0}^\infty x^n\\&=\frac x{(1-x)^2}\end{align}</math>}} {{משל}}<br/>''גישה אחרת (מבט פונקציונלי):'' נגדיר <math>S(x)=\sum_{n=1}^\infty x^n=\frac1{1-x}</math>. אם יש צדק בעולם <math>S'(x)=\sum_{n=1}^\infty nx^{n-1}</math> ולכן <math>\sum_{n=1}^\infty nx^n=S(x)=x\cdot S'(x)=x\cdot\frac1{(1-x)^2}</math>, אלא שאנו זקוקים למשפט כדי להצדיק את גזירת הטור איבר-איבר אינסוף פעמים (כלומר משפט האומר ש-<math>\left(\sum_{n=1}^\infty f_n(x)\right)'=\sum_{n=1}^\infty f_n'(x)</math>), ועוד לא הוכחנו כזה דבר (אך נעיר שזה נכון).
# נגדיר <math>f_n(x)=\frac{\sin\left(n^2x\right)}n</math>. לכן הפונקציה הגבולית היא <math>f(x)=\lim_{n\to\infty}\sin\left(n^2x\right)\frac1n=0</math>. אם יש צדק בעולם אז <math>f_n(x)\to0\implies f_n'(x)\to0'=0</math>, אלא שצדק נמצא בחלל ובפרט <math>f_n'(x)=n\cos\left(n^2x\right)</math> ולכן <math>\lim_{n\to\infty}f_n'(x)</math> לא קיים לאף <math>x\in\mathbb R</math>.
# נתבונן בטור <math>S(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}</math> ונוכיח כי <math>\forall x\in\mathbb R:\ S(x)=e^x</math>. נעשה זאת באמצעות טורי טיילור: <math>e^x=P_N(x)+R_N(x)</math> וכבר הראנו בקורס אינפי 1 ש-<math>\forall x\in\mathbb R:\ P_N(x)=\sum_{n=0}^N\frac{x^n}{n!}\ \and\ R_N(x)=\frac{f^{(N+1)}(c)}{(N+1)!}x^{N+1}=\frac{e^c}{(N+1)!}x^{N+1}</math> עבור c כלשהו בין 0 ל-x. כעת הטור הנתון מקיים <math>S(x)=\limlim_{N\to\infty}P_N(x)=\lim_{N\to\infty} e^x-R_N(x)</math>. כדי להראות ש-<math>S(x)=e^x</math> נותר להוכיח ש-<math>\lim_{N\to\infty}R_N(x)=0</math>. ובכן נקח <math>x\in\mathbb R</math> כרצונינו ונשים לב כי לכל N כך ש-<math>\forall x<N:\ in\mathbb N</math> מתקיים <math>0\le|R_N(x)|\le\frac{e^{|x|}|x|^{N+1}}{(N+1)!}=e^{|x|}\frac{|x|}1\frac{|x|}2\frac{|x|}3\cdots\frac{|x|}{\lfloor x\rfloor}\frac{|x|}{\lfloor x\rfloor+1}\cdots\frac{|x|}{\lfloor x\rfloor+(N+1-\lfloor x\rfloor)}\to0</math><br/> וכך הוכחנו בעזרת המבט הנקודתי. {{משל}} עתה ננסה להוכיח גם מנקודת מבט פונקציונלית: <math>S(x)=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\dots</math> ולכן <math>S'(x)=0+1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\dots=S(x)</math>. נגדיר <math>f(x)=S(x)\cdot e^{-x}</math> ולכן <math>f'(x)=S'(x)e^{-x}+S(x)\left(-e^{-x}\right)=S(x)e^{-x}-S(x)e^{-x}=0</math> ומכאן ש-f פונקציה קבועה. נסמן <math>c=f(x)</math> ונובע ש-<math>S(x)=f(x)e^x=ce^x</math>. מהגדרת S נובע כי <math>S(0)=1</math> ז"א <math>1=S(0)=ce^0=c</math>, ומכאן נובע ש-ולכן <math>S(x)=e^x</math> ובפרט <math>e=e^1=\sum_{n=0}^\infty\frac1{n!}</math>. ו"הוכחנו" את הטענה (לצערנו גזרנו טור אינסופי איבר-איבר, אבל כאמור, אין לנו משפט שאומר שזה נכון).
'''הוכחה:''' נניח בשלילה ש-e רצינלי ונסמן <math>e=\frac pq</math> עבור <math>p,q\in\mathbb N</math>. לכן <math>q!e=(q-1)!p\in\mathbb N</math>, אבל <math>q!e=\underbrace{q!+q!+\frac{q!}{2!}+\frac{q!}{3!}+\dots+\frac{q!}{q!}}_{\in\mathbb N}+\underbrace{\frac1{q+1}+\frac1{(q+1)(q+2)}+\dots}_{<\sum_{n=1}^\infty\frac1{q^n}=\frac1{q-1}<1}</math>, כלומר <math>q!e</math> הוא מספר טבעי השווה למספר טבעי ועוד מספר לא שלם, בסתירה. {{משל}}
=התכנסות במידה שווה=
'''הגדרה:''' תהי <math>\{f_n\}</math> סדרת פונקציות בקטע I כך שלכל <math>x\in I</math> קיים הגבול <math>f(x)=\lim_{n\to\infty} f_n(x)</math>. ניתן שתי הגדרות שקולות לשאיפה של <math>f_n</math> ל-f במידה שווה ב-I:
* לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שאם <math>n>n_0</math> אז <math>|f(x)-f_n(x)|<\varepsilon</math> לכל <math>x\in I</math>.
* <math>\lim_{n\to\infty}\sup_{x\in I} |f(x)-f_n(x)|=0</math>.