משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/31.5.11

את דוגמה 4 לא סיימנו בשיעור הקודם ולכן השלמנו זאת ב־31.5.11. חלק זה מופיע בסיכום השיעור הקודם ולא בדף הנוכחי.

טורי חזקות (המשך)

תזכורת: בהרצאה הקודמת הוכחנו ש-$\arctan(x)=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}$ לכל $x\in(-1,1)$ והערנו שאם ניתן להציב $x=1$ נקבל את המשוואה היפה $\frac\pi4=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{2n+1}$. כמו כן אמרנו ש-$\ln(x)=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{(x-1)^{n+1}}{n+1}$ עבור $x\in(0,2)$ ושאם מותר להציב $x=2$ אזי $\ln(2)=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n+1}$.

משפט 5 (משפט אבל)

נניח ש-$f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$ בקטע $(-1,1)$ ו-$\sum_{n=0}^\infty a_n$ מתכנס ל-$S\in\mathbb R$, אזי $\lim_{x\to1^-}f(x)$ קיים ושווה ל-S.

הוכחה

נעזר בסכימה בחלקים: נסמן $S_N=\sum_{n=0}^N a_n$ ולכן $\forall N\in\mathbb N:\ \sum_{n=0}^Na_nx^n=\sum_{n=0}^{N-1}S_n\left(x^n-x^{n+1}\right)+S_Nx^N$ כאשר $-1<x<1$. לפי הנתון $S=\lim_{N\to\infty}S_N$, ולכן אם $0<x<1$ אז $\lim_{N\to\infty}S_Nx^N=0$ ועבור $0\le x\le 1$ מתקיים $f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n=\sum_{n=0}^\infty S_n\left(x^n-x^{n+1}\right)=(1-x)\sum_{n=0}^\infty S_nx^n$. כמו כן, $\forall x\in[0,1):\ 1=(1-x)\sum_{n=0}^\infty x^n$ (כי $\frac1{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n$). לכן $S=(1-x)\sum_{n=0}^\infty Sx^n$ ומכאן שעבור $x\in[0,1)$ מתקיים $f(x)-S=(1-x)\sum_{n=0}^\infty(S_n-S)x^n$. נרצה להוכיח ש-$\lim_{x\to1^-}f(x)-S=0$: יהי $\varepsilon>0$ נתון ומכיוון ש-$\lim_{n\to\infty}S_n=S$ קיים $n_0\in\mathbb N$ כך שלכל $n>n_0$ יתקיים $|S_n-S|<\frac\varepsilon2$. נסמן $I_1=(1-x)\sum_{n=0}^{n_0}(S_n-S)x^n$ וכן $I_2=(1-x)\sum_{n=n_0+1}^\infty(S_n-S)x^n$, לכן $f(x)-S=I_1+I_2$. עתה $|I_2|\le(1-x)\sum_{n=n_0+1}^\infty|S_n-S|x^n<\frac\varepsilon2(1-x)\sum_{n=n_0+1}^\infty x^n\le\frac\varepsilon2(1-x)\sum_{n=0}^\infty x^n=\frac\varepsilon2$. לגבי $I_1$ נגדיר $M=\sum_{n=0}^{n_0}|S_n-S|$ ולכן $|I_1|\le(1-x)\sum_{n=0}^{n_0}|S_n-S|$. עתה $x\to1^-$ ולכן $0<1-x<\frac\varepsilon{2M}$, לכן $|I_1|\le\frac\varepsilon{2M}M=\frac\varepsilon2$. לסיכום הוכחנו שאם $1-\frac\varepsilon{2M}<x<1$ אזי $|f(x)-S|<|I_1|+|I_2|<\varepsilon$ ולכן $\lim_{x\to1^-}f(x)-S=0$. $\blacksquare$

מסקנה

לגבי טור חזקות כללי $f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n$ בעל רדיוס התכנסות R:

1. אם $\sum_{n=0}^\infty a_nR^n$ מתכנס ל-S אזי $\lim_{x\to x_0+R^-}f(x)$ קיים ושווה ל-S.
2. אם $\sum_{n=0}^\infty a_n(-R)^n$ מתכנס ל-T אזי $\lim_{x\to(x_0-R)^+}f(x)$ קיים ושווה ל-T.

הוכחה

1. נציב $y=\frac{x-x_0}R$ ולכן $f(x)=\sum_{n=0}^\infty \left(a_nR^n\right)y^n$ עבור $|x-x_0|<R$, כלומר עבור $|y|<1$. נגדיר $g(y)=f(x)$ ולכן מתקיימים תנאי משפט אבל ומתקיים $\lim_{y\to1^-}g(y)=S$, לכן $\lim_{x\to x_0+R^-}f(x)=S$. $\blacksquare$
2. נציב $y=\frac{x-x_0}{-R}$ ונוכיח כמו בסעיף 1. $\blacksquare$

משפט 6 (משפט דיני)

נניח שלכל n $f_n$ רציפה ב-$[a,b]$ ונניח שסדרת הפונקציות מונוטונית, כלומר לכל $x\in[a,b]$ הסדרה $\{f_n(x)\}_{n=1}^\infty$ עולה או לכל $x\in[a,b]$ הסדרה $\{f_n(x)\}_{n=1}^\infty$ יורדת. כמו כן ידוע כי $f_n\to f$ ו-f רציפה ב-$[a,b]$, אזי ההתכנסות במ"ש.

הסבר

לפני ההוכחה נסביר למה צריך את כל הנתונים:

• אם הקטע פתוח במקום סגור, נבחר את הקטע $(0,1)$ ואת סדרת הפונקציות $f_n(x)=x^n$. ברור כי כל הפונקציות רציפות בקטע וסדרת הפונקציות מונוטונית, וכן הפונקציה הגבולית היא הפונקציה הרציפה $f(x)=0$, אבל כבר הוכחנו בעבר שההתכנסות אינה במ"ש.
• בקטע סגור $[0,1]$ נבחר באותה סדרת פונקציות. הפונקציה הגבולית היא $f(x)=\begin{cases}0&0\le x<1\\1&x=1\end{cases}$ שאינה רציפה, ואכן ההתכנסות אינה במ"ש.
• 
  נגדיר סדרת פונקציות לפי הגרף שמשמאל. כל $f_n$ רציפה ב-$[0,1]$ והן מתכנסות לפונקציה הרציפה 0, אבל סדרת הפונקציות לא מונוטונית, ואכן ההתכנסות אינה במ"ש.
• נגדיר $f_n(x)=\begin{cases}x^n&0\le x<1\\0&x=1\end{cases}$ ולכן סדרת הפונקציות מונוטונית אבל הפונקציות אינן רציפות, ואכן, למרות שהפונקציה הגבולית 0 רציפה, ההתכנסות אינה במ"ש.

הוכחה

במקרה הראשון נניח שסדרת הפונקציות יורדת מונוטונית. לכן $\{f_n-f\}$ היא סדרת פונקציות יורדת מונוטונית השואפת ל-0 ב-$[a,b]$. נסמן $g_n=f_n-f$ (ולכן $g_n$ חיובית) ונניח בשלילה שההתכנסות $g_n\to0$ אינה במ"ש בקטע. לפיכך קיים $\varepsilon>0$ כל שלכל $n_0\in\mathbb N$ קיימים $n>n_0$ ו-$x\in[a,b]$ עבורם $g_n(x)>\varepsilon$. בפרט, עבור $n_0=1$ קיימים $n_1>n_0$ ו-$x_1\in[a,b]$ כך ש-$g_{n_1}(x_1)>\varepsilon$. עבור $n_0=n_1+1$ קיימים $n_2>n_0$ ו-$x_2\in[a,b]$ כך ש-$g_{n_2}(x_2)>\varepsilon$ וכן הלאה. בדרך זו בונים תת סדרה $\{g_{n_k}\}$ של $\{g_n\}$ וסדרה $\{x_k\}$ ב-$[a,b]$ כך ש-$\forall k:\ g_{n_k}(x_k)>\varepsilon$. $\{x_k\}$ נמצאת ב-$[a,b]$ ולכן היא חסומה, אזי לפי משפט בולצאנו ויירשראס יש תת סדרה $\{x_{k_l}\}$ מתכנסת, נאמר ל-$x_0\in[a,b]$. לפי הבנייה הנ"ל מתקיים $\forall l:\ g_{n_{k_l}}(x_{k_l})>\varepsilon$ ומכיוון ש-$\lim_{l\to\infty} g_{n_{k_l}}(x_0)=0$ קיים $l_0\in\mathbb N$ כך שלכל $l>l_0$ יתקיים $g_{n_{k_l}}(x_0)<\frac\varepsilon2$. $g_{n_{k_{l_0+1}}}$ פונקציה רציפה שקטנה מ-$\frac\varepsilon2$ ב-$x_0$ ולכן יש סביבה S של $x_0$ שבה $g_{n_{k_{l_0+1}}}$ קטנה מ-$\varepsilon$. ה-$g_n$ יורדות ולכן לכל $l>l_0$ ולכל $x\in S$ מתקיים $g_{n_{k_l}}(x)<\varepsilon$, אבל לפי הבנייה $x_{k_l}\to x_0$ ולכן לכל l מספיק גדול מתקיים $g_{n_{k_l}}(x_{k_l})<\varepsilon$, בסתירה לכך שלכל l מתקיים $g_{n_{k_l}}(x_{k_l})>\varepsilon$. הסתירה מוכיחה את המשפט במקרה הזה.

במקרה השני נניח שסדרת הפונקציות עולה מונוטונית. נסמן $g_n=-f_n$ ולכן $\{g_n\}$ יורדת ומתקיימים שאר תנאי המשפט, ולכן $g_n\to -f$ במ"ש. מכאן ש-$f_n\to f$ במ"ש והוכחנו גם את המקרה השני. $\blacksquare$

השתנות חסומה

אינטואיטיבית, פונקציה בעלת השתנות חסומה היא פונקציה שהשינוי שלה בציר ה-y הוא סופי (הגדרה מדוייקת ניתן בהרצאה הבאה).

דוגמאות

• 

  $\sin(x)$
  ההשתנות הכללית של $\sin$ בקטע $\left[0,\tfrac32\pi\right]$ היא 3 (ובפרט היא חסומה) כי הפונקציה עלתה 1 וירדה 2.
• על $[1,\infty)$ ההשתנות של $\frac1x$ היא 1 כי הפונקציה ירדה מ-1 ל-0.
• לפונקציה $\sin\left(\frac1x\right)$ ב-$(0,1)$ יש השתנות אינסופית כי היא עלתה וירדה בין $\pm1$ אינסוף פעמים.
• 

  $x\sin\left(\frac1x\right)$

  באדום: $y=\pm x$
  נגדיר $f(x)=x\sin\left(\frac1x\right)$ בקטע $(0,1)$. האם יש לה השתנות חסומה? כאן יותר קשה לנחש מה ההשתנות כי מחד יש אינסוף עליות ומורדות, ומצד שני כאשר $x\to0^+$ גם גדלי העליות והירידות שואפים ל-0. נוכיח שההשתנות אינה חסומה: לכל $n\in\mathbb N$ יש לפונקציה נקודת קיצון ב-$\frac1{\pi n+\pi/2}$, וב-$\left[\tfrac1{\pi(n+1)+\pi/2},\tfrac1{\pi n+\pi/2}\right]$ היא עולה או יורדת מהקו $y=\pm x$ ל-$y=\mp x$, לכן ההשתנות שלה בקטע זה היא $\frac1{\pi(n+1)+\pi/2}+\frac1{\pi n+\pi/2}$, שגדול מ-$\frac2{\pi(n+1)+\pi/2}$. מכאן נובע שההשתנות הכוללת ב-$(0,1)$ גדולה מ-$\sum_{n=1}^\infty \frac2{\pi(n+1)+\pi/2}=\infty$, ומכאן של-f אין השתנות חסומה ב-$(0,1)$. $\blacksquare$