=====הוכחת הלמה=====
# מתקיים {{left|<math>\begin{align}p-n&=\sum_{k=1}^m\Big(f(x_k)-f(x_{k-1})\Big)^+-\sum_{k=1}^m\Big(f(x_k)-f(x_{k-1})\Big)^-\\&=\sum_{k=1}^m\Big(f(x_k)-f(x_{k-1})\Big)\\&=f(b)-f(a)\end{align}</math>}}נסיק ש-<math>p=f(b)-f(a)+n\le f(b)-f(a)+N</math> ולכן <math>P=\sup_Q\ p\le f(b)-f(a)+N</math>. הראנו כבר ש-<math>N\le T\le<\infty</math> ולכן מותר להעביר אגף: <math>P-N\le f(b)-f(a)</math>. כמו כן נסיק ש-<math>n=p-(f(b)-f(a))\le P-(f(b)-f(a))</math> ולכן <math>N\le P-(f(b)-f(a))</math>. עתה נעביר אגף לקבל <math>P-N\ge f(b)-f(a)</math> ולכן <math>P-N=f(b)-f(a)</math>. {{משל}}
# מתקיים <math>T\ge t=p+n=p+p-(f(b)-f(a))=2p-(P-N)</math>. נעשה סופרימום על האגף הכי ימני ונקבל <math>T\ge 2P+N-P=N+P</math>. כבר הראנו ש-<math>T\le N+P</math> ולכן <math>T=N+P</math>. {{משל}}