שינויים

ראשית נוכיח שהתנאי הראשון גורר את השני: אם נגדיר לכל n את <math>a_n=\sup_{x\in I}|f(x)-f_n(x)|</math> אז יש להוכיח כי <math>\lim_{n\to\infty} a_n=0</math>. אבל אם <math>\varepsilon>0</math> ידוע כי קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שלכל <math>n>n_0</math> מתקיים <math>|f(x)-f_n(x)|<\varepsilon/2frac\varepsilon2</math> לכל <math>x\in I</math>. נובע מיד שאם <math>n>n_0</math> אז <math>0\le a_n=\sup_{x\in I}|f(x)-f_n(x)|<\varepsilon/2le\frac\varepsilon2<\varepsilon</math> ולכן <math>\forall n>n_0:\ |a_n-0|<\varepsilon</math> והוכחנו <math>a_n\to0</math>, כדרוש.

לצד השני יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. ידוע כי קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שלכל <math>n>n_0</math> מתקיים <math>\sup_{x\in I}|f(x)-f_n(x)|<\varepsilon</math> ולכן לכל <math>\forall n>n_0</math>, <math>:\ |f(x)-f_n(x)|<\varepsilon</math> לכל עבור <math>x\in I</math>. {{משל}}

[[קובץ:גרף חזקות שונות של x.png|ממוזער|300px|ימין]] בקטע <math>[0,1)</math> ברור כי <math>\lim_{n\to\infty}x^n=0</math>. טענה: הגבול נקודתי  נראה כי ההתכנסות נקודתית ולא במ"ש. הוכחה: <math>\forall n\in\mathbb N:\ a_n=\sup_{x\in[0,1)}|x^n-0|<=1\ne0</math>. {{משל}}  נעיר כי בקטע <math>[0,r]</math> עבור <math>r<1</math> דווקא '''יש''' התכנסות במ"ש. הוכחה: <math>\forall n\in\mathbb N:\ a_n=\sup_{x\in[0,r]}|x^n-0|=r^n</math> ולכן <math>\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}r^n=0</math>, כדרוש. {{משל}}

יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. <math>f_n\to f</math> במ"ש ב-I ולכן קיים n טבעי מסויים כך שלכל <math>x\in I</math> מתקיים <math>|f(x)-f_n(x)|<\varepsilon/3frac\varepsilon3</math>. כעת נתון ש-<math>f_n</math> רציפה ב-<math>x_0</math> ולכן קיים <math>\delta>0</math> כך שאם <math>|x-x_0|<\delta</math> אז <math>|f_n(x)-f_n(x_0)|<\varepsilon/3frac\varepsilon3</math> נובע שאם <math>|x_0-x-x_0|<\delta</math> אז <math>|f(x)-f(x_0)|\le|f(x)-f_n(x)|+|f_n(x)-f_n(x_0)|+|f_n(x_0)-f(x_0)|<\varepslon/3frac\varepsilon3+\varepslon/3frac\varepsilon3+\varepslon/3frac\varepsilon3=\varepsilon</math>. {{משל}}

====דוגמה====בקטע <math>[0,1]</math> ברור כי <math>\lim_{n\to\infty}x^n=\begin{cases}0&0\le x<1\\1&x=1\end{cases}</math>. כאן כל <math>x^n</math> רציפה ב-<math>[0,1]</math> ואילו הפונקציה הגבולית לא רציפה. זה אינו סותר את משפט 2 כי כבר ראינו שההתכנסות אינה במ"ש.

לא נוכיח שבתנאים הללו f אינטגרבילית (בד"כ זה יתקיים אוטומטית אם כל ה-<math>f_n</math> רציפות למקוטעין). נוכיח רק , ונסתפק בהוכחה לכך ש-<math>\int\limits_a^b f=\lim_{n\to\infty}\int\limits_a^b f_n</math>. שקול להוכיח ש-<math>\lim_{n\to\infty}\int\limits_a^b f-\int\limits_a^b f_n=0</math>. ובכן יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. כיוון ש-<math>f_n\to f</math> במ"ש על I <math>\exists n_0\in\mathbb N:\ \forall n>n_0:\ \sup_{x\in[a,b]}|f(x)-f_n(x)|<\frac\varepsilon{b-a}</math>. נובע שלכל <math>n>n_0</math> <math>\left|\int\limits_a^b(f-f_n)\right|\le\int\limits_a^b|f-f_n|\le(b-a)\sup_{x\in I}|f(x)-f_n(x)|<(b-a)\frac\varepsilon{b-a}=\varepsilon</math>. מכאן נובע ש-<math>\lim_{n\to\infty}\left|\int\limits_a^b (f-f_n)\right|=0</math>. {{משל}}

גרף (0,0), (1/n,n), (2/n,0), (...,0) טענה: לעל <math>x\in[0,1]</math> אז <math>\lim_{n\to\infty}f_n(x)=0</math>. הוכחה[קובץ: עבור <math>x=0</math> לכל פונקציה בין n <math>f_n(ל-0)=0</math> ולכן <math>\lim_{n\to\infty} f_n(x)=0</math>. אם <math>x\in(0,1png|300px|ימין]]משמאל נתונה הפונקציה </math> אז קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך ש-<math>2/n_0<xf_n</math> עבור כל <math>n>n_0</math> מתקיים <math>2/n<2/n_0<x</math> ולכן <math>f_n(x)=0</math> לכל <math>n\in\mathbb N</math> ונובע ש-<math>\lim_{n\to\infty}f_n(x)=0</math>. בזה הוכחנו את הטענה ש-<math>0=\lim_{n\to\infty}f_n(x)</math> נקודתית ב-<math>[0,1]</math>. נעיר שההתכנסות מאוד לא במ"ש כי עבור n כלשהו <math>a_n=\sup_{x\in[0,1]}|f_n(x)-0|=n\to\infty</math>.  טענה: <math>\lim_{n\to\infty}\int\limits_0^1 f_n\ne\int\limits_0^1 0\mathrm dx</math> (כאשר <math>f(x)=0</math> היא הפונקציה הגבולית).

הוכחהנוכיח כי <math>\forall x\in[0,1]: \ \lim_{n\to\infty}f_n(x)=0</math>: עבור <math>x=0</math> לכל n השטח מתחת לגרף <math>f_n(0)= 0</math> ולכן <math>\intlim_{n\limits_0^1 to\infty} f_n(0)=0</math> = . אם <math>x\in(0,1 = ]</math> אז קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך ש-<math>\frac2{n_0}<x</math> ולכן לכל <math>n>n_0</math> מתקיים <math>\frac2n<\frac12frac2{n_0}<x</math> שלא שואף ל, מה שגורר כי <math>f_n(x)=0</math> לכל <math>n\in\mathbb N</math> ונובע ש-<math>\lim_{n\to\infty}f_n(x)=0</math>. בזה הוכחנו את הטענה ש-<math>0=\lim_{n\to\infty}f_n(x)</math> נקודתית ב-<math>[0,1]</math>. {{משל}} נעיר שההתכנסות "מאוד" לא במ"ש כי <math>\sup_{x\in[0,1]}|f_n(x)-0|=n\to\infty</math>.

השערה סבירה אבל מאוד לא נכונה: אם נוכיח כי <math>f_n\lim_{n\to \infty}\int\limits_0^1 f_n\ne\int\limits_0^1 0\mathrm dx</math> (כאשר <math>f(x)=0</math> במ"ש ב-I אז היא הפונקציה הגבולית): לכל n {{left|<math>\int\limits_0^1 f_n'=</math> השטח מתחת לגרף <math>=\to f'frac12\cdot n\cdot\frac2n=1\ne0</math> ב-I.}} {{משל}}

השערה סבירה אבל מאוד לא נכונה: אם <math>f_n\to f</math> במ"ש ב-I אז <math>f_n'\to f'</math> ב-I. דוגמה נגדית: נגדיר <math>f_n(x)=\frac{\sin\left(n^2x\right)}n</math> טענה: .* נוכיח ש-<math>\lim_{n\to\infty} f_n(x)=0</math> במ"ש בכל <math>\mathbb R</math>. הוכחה: <math>\forall n\in\mathbb N:\ a_n=\sup_{x\in\mathbb R}\left|\frac{\sin\left(n^2x\right)}n-0\right|=\sup_{x\in\mathbb R}\leftfrac{\left|\sin\left(n^2x\right)\right|}n=\frac1n\to0</math>. טענה: * נוכיח <math>f_n'\not\to0'=0</math>. הוכחה: לכל n ולכל <math>x\in\mathbb R</math> מתקיים <math>f_n'(x)=n\cos\left(n^2x\right)</math> ועבור <math>x\in\mathbb R</math> כלשהו <math>\lim_{n\to\infty}f_n'(x)=\lim_{n\to\infty} n\cos\left(n^2x\right)</math> שאינו קיים. {{משל}}

תהי <math>\{f_n\}</math> סדרת פונקציות בעלות נגזרת רציפה נגזרות רציפות <math>f_n'</math> בקטע <math>[a,b]</math>. הסדרה נניח שהסדרה <math>\{f_n\}</math> מתכנסת בנקודה אחת (לפחות) <math>x_0\in[a,b]</math> והסדרה <math>\{f_n'\}</math> מתכנסת במ"ש ל-g ב-<math>[a,b]</math>. אזי <math>\lim_{n\to\infty} f_n(x)</math> קיים לכל <math>x\in[a,b]</math> ומגדיר פונקציה גבולית f שהיא גזירה ב-<math>[a,b]</math>. יתר על כן <math>\forall x\in[a,b]:\ f'(x)=g(x)</math>.

נקח <math>x\in[a,b]</math> כלשהי. לכל n הפונקציה <math>f_n'</math> רציפה (נתון) ונוכל להפעיל את המשפט היסודי לומר <math>f_n(x)-f_n(x_0)=\int\limits_{x_0}^x f_n'</math>. נעביר אגף: <math>f_n(x)=f_n(x_0)+\int\limits_{x_0}^x f_n'</math>. כעת נתון שקיים <math>\lim_{n\to\infty} f_n(xx_0)</math>. , נקרא לו <math>\alpha</math>. יתר על כן נתון ש-<math>\lim_{n\to\infty} f_n'(t)=g(t)</math> במ"ש ב-<math>[a,b]</math> וכל שכן <math>\lim_{n\to\infty}f_n'(t)=g(t)</math> במ"ש בתת הקטע בין <math>x_0</math> ל-x. נסיק ממשפט 3 ש-<math>\lim_{n\to\infty}\int\limits_{x_0}^x f_n'=\int\limits_{x_0}^x g</math> נובע שלכל <math>x\in[a,b]</math> קיים <math>f(x)=\lim_{n\to\infty} f_n(x)=\lim_{n\to\infty}\left(f_n(x_0)+\int\limits_{x_0}^x f_n'\right)=\alpha+\int\limits_{x_0}^x g</math> והוכחנו את קיום הפונקציה הגבולית f. נותר להוכיח שהיא גזירה וש-<math>\forall x\in[a,b]:\ f'(x)=g(x)</math> . לפי הנתון כל <math>f_n'</math> רציפה ו-<math>g(t)=\lim_{n\to\infty} f_n'(t)</math> במ"ש על <math>[a,b]</math>. לכן משפט 2 נותן ש-<math>g</math> רציפה ב-<math>[a,b]</math> וכיוון שלכל <math>x\in[a,b]</math> מתקיים <math>f(x)=\alpha+\int\limits_{x_0}^x g</math>. החלק הראשון של המשפט היסודי נותן <math>f'=g</math> לכל <math>x\in[a,b]</math>. {{משל}}