שינויים
/* משפט 4 */ הכללה לקטע לא סגור
יהיו קבוצת הפונקציות <math>\{f_n\}</math> והפונקציה f מוגדרות בקטע I. אז התנאים הבאים שקולים:
* <math>f(x)=\lim_{n\to\infty} f_n(x)</math> במ"ש ב-I
* <math>\lim_{n\to\infty}\sup_{x\in I}|f(x)-f_n(x)|<\varepsilon=0</math>
===הוכחה===
ראשית נוכיח שהתנאי הראשון גורר את השני: אם נגדיר לכל n את <math>a_n=\sup_{x\in I}|f(x)-f_n(x)|</math> אז יש להוכיח כי <math>\lim_{n\to\infty} a_n=0</math>. אבל אם <math>\varepsilon>0</math> ידוע כי קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שלכל <math>n>n_0</math> מתקיים <math>|f(x)-f_n(x)|<\frac\varepsilon2</math> לכל <math>x\in I</math>. נובע מיד שאם <math>n>n_0</math> אז <math>0\le a_n=\sup_{x\in I}|f(x)-f_n(x)|\le\frac\varepsilon2<\varepsilon</math> ולכן <math>\forall n>n_0:\ |a_n-0|<\varepsilon</math> והוכחנו <math>a_n\to0</math>, כדרוש.
==משפט 4==
תהי <math>\{f_n\}</math> סדרת פונקציות בעלות נגזרות רציפות <math>f_n'</math> בקטע <math>[a,b]</math>I. נניח שהסדרה <math>\{f_n\}</math> מתכנסת בנקודה אחת (לפחות) <math>x_0\in[a,b]I</math> והסדרה <math>\{f_n'\}</math> מתכנסת במ"ש ל-g ב-<math>[a,b]</math>I. אזי <math>\lim_{n\to\infty} f_n(x)</math> קיים לכל <math>x\in[a,b]I</math> ומגדיר פונקציה גבולית f שהיא גזירה ב-<math>[a,b]</math>I. יתר על כן <math>\forall x\in[a,b]I:\ f'(x)=g(x)</math>.
===הוכחה===
נקח <math>x\in[a,b]I</math> כלשהו. לכל n הפונקציה <math>f_n'</math> רציפה (נתון) ונוכל להפעיל את המשפט היסודי לומר <math>f_n(x)-f_n(x_0)=\int\limits_{x_0}^x f_n'</math>. נעביר אגף: <math>f_n(x)=f_n(x_0)+\int\limits_{x_0}^x f_n'</math>. כעת נתון שקיים <math>\lim_{n\to\infty} f_n(x_0)</math>, נקרא לו <math>\alpha</math>. יתר על כן נתון ש-<math>\lim_{n\to\infty} f_n'(t)=g(t)</math> במ"ש ב-<math>[a,b]</math> I וכל שכן <math>\lim_{n\to\infty}f_n'(t)=g(t)</math> במ"ש בתת הקטע בין <math>x_0</math> ל-x. נסיק ממשפט 3 ש-<math>\lim_{n\to\infty}\int\limits_{x_0}^x f_n'=\int\limits_{x_0}^x g</math> נובע שלכל <math>x\in[a,b]I</math> קיים <math>f(x)=\lim_{n\to\infty} f_n(x)=\lim_{n\to\infty}\left(f_n(x_0)+\int\limits_{x_0}^x f_n'\right)=\alpha+\int\limits_{x_0}^x g</math> והוכחנו את קיום הפונקציה הגבולית f. נותר להוכיח שהיא גזירה וש-<math>\forall x\in[a,b]:\ f'(x)=g(x)</math>. לפי הנתון כל <math>f_n'</math> רציפה ו-<math>g(t)=\lim_{n\to\infty} f_n'(t)</math> במ"ש על <math>[a,b]</math>I. לכן משפט 2 נותן ש-<math>g</math> רציפה ב-<math>[a,b]</math> I וכיוון שלכל <math>x\in[a,b]I</math> מתקיים <math>f(x)=\alpha+\int\limits_{x_0}^x g</math> החלק הראשון של המשפט היסודי נותן <math>f'=g</math> לכל <math>x\in[a,b]I</math>. {{משל}}
