שינויים

קפיצה אל: ניווט, חיפוש

משתמש:אור שחף/133 - רשימת משפטים

נוספו 312 בתים, 18:52, 30 באוגוסט 2011
* נניח ש-<math>a<c<b</math>. אזי <math>f</math> אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>, ב-<math>[a,c]</math> וב-<math>[c,b]</math> אם"ם היא אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>, ואם כן אז <math>\int\limits_a^b f=\int\limits_a^c f+\int\limits_c^b f</math>.
:* {{הערה|הכללה:}} עבור <math>f</math> כנ"ל ו-<math>a=x_0,x_1,\dots,x_n=b</math> (הנקודות לאו דווקא מסודרות בסדר עולה) מתקיים <math>\int\limits_a^b f=\sum_{k=1}^n\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f</math>.
* אם <math>f</math> חסומה אז <math>\underline S(f,P)\le S(f,P,P')\le\overline S(f,P)</math>. יתר על כן, <math>\underline S(f,P)=\inf_{P'}\ S(f,P,P')</math> ו-<math>\overline S(f,P)=\sup_{P'}\ S(f,P,P')</math>.
* הגדרות האינטגרל לפי דרבו ולפי רימן שקולות.
* '''לינאריות:''' עבור <math>f,g</math> אינטגרביליות מתקיים <math>\int\limits_a^b f+cg=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g</math>.
:* {{הערה|מקרה פרטי:}} אם <math>\forall x\in[a,b]:\ |f(x)|\le M</math> ו-<math>f</math> אינטגרבילית אז <math>\left|\int\limits_a^b f\right|\le M(b-a)</math>.
::* {{הערה|מקרה פרטי:}} אם <math>f(x)=M</math> (פונקציה קבועה) אז <math>\int\limits_a^b f=M(b-a)</math>.
* '''המשפט היסודי של חשבון אינטגרלי:''' תהי <math>f</math> אינטגרבילית ותהי <math>F</math> כך ש-<math>\forall x\in[a,b]:\ F(x):=\int\limits_a^x f</math>. אזי <math>F</math> רציפה וכן לכל נקודה <math>x_0</math> ב-<math>[a,b]</math> שבה <math>f</math> רציפה, <math>F</math> קדומה ל-<math>f</math> (כלומר, <math>F</math> גזירה ב-<math>[a,b]x_0</math> וכך ש-<math>F'(x_0)=f(x_0)</math>).
* '''נוסחת ניוטון-לייבניץ:''' תהי <math>f</math> רציפה. אזי <math>\int\limits_a^b f=[F(x)]_{x=a}^b=F(b)-F(a)</math>.
* לכל <math>f</math> רציפה יש פונקציה קדומה.
* '''אינטגרציה בחלקים:''' נניח כי <math>f',g'</math> רציפות. אזי <math>\int f(x)g'(x)\mathrm dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\mathrm dx</math>.
:* <math>\int\limits_a^b f\cdot g'=[f(x)g(x)]_{x=a}^b-\int\limits_a^b f'\cdot g</math>
* '''שיטת ההצבה:''' <math>\int f(g(x))g'(x)\mathrm dx=F(g(x)){\color{Gray}+c}</math>.
:* <math>\int\limits_a^b f(g(x))g'(x)\mathrm dx=\int\limits_{g(a)}^{g(b)}f(g(x))\mathrm dg(x)</math>
* כל פונקציה רציונלית <math>\frac pq</math> כך ש-<math>\deg(p)<\deg(q)</math> ניתנת לפירוק יחיד כסכום של שברים חלקיים <math>\frac A{(x-x_0)^n}+\frac{Bx+c}{(x^2+bx+c)^k}</math> כאשר <math>A,B,C,x_0\in\mathbb R\ \and\ n,k\in\mathbb N</math> ול-<math>x^2+bx+c</math> אין שורשים ממשיים.
* נפח גוף הסיבוב הנוצר מסיבוב השטח שמתחת ל-<math>f</math> אי-שלילית בין <math>a</math> ל-<math>b</math> סביב ציר ה-<math>x</math> הוא <math>\int\limits_a^b \pi f^2</math>.
* אם <math>f</math> רציפה אז הממוצע שלה בקטע <math>[a,b]</math> הוא <math>\frac1{b-a}\int\limits_a^b f</math>.
* אם <math>f</math> בעלת גזירה אז אורך הגרף שלה בקטע <math>[a,b]</math> הוא <math>\int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\mathrm dx</math>.
* שטח המעטפת (ללא הבסיסים) של גוף סיבוב הנוצר מסיבוב הגרף של <math>f</math> רציפה סביב ציר ה-<math>x</math> בקטע <math>[a,b]</math> הוא <math>\int\limits_a^b 2\pi f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}\mathrm dx</math>.
* '''קירוב האינטגרל בעזרת טורי טיילור:''' תהא <math>f</math> בעלת נגזרת <math>n</math>-ית רציפה. אזי <math>\int\limits_a^b f\approx\int\limits_a^b P_n</math> כאשר <math>P_n</math> הוא פיתוח טיילור מסדר <math>n</math> של <math>f</math> והשארית היא <math>\int\limits_a^b R_n=f^{(n+1)}(c)\frac{b^{n+2}-a^{n+2}}{(n+2)!}</math> עבור <math>\min\{a,x_0\}\le c\le\max\{b,x_0\}</math> כאשר פיתוח טיילור נעשה סביב <math>x_0</math>.* '''קירוב האינטגרל בשיטת המלבנים:''' תהא <math>f</math> בעלת נגזרת רציפה והחלוקה <math>P</math> היא חלוקה שווה כאשר לכל <math>k</math> מתקיים <math>\Delta x_k=h</math>. אזי <math>\int\limits_a^b f\approx h\sum_{k=1}^n f(x_k)</math> והשארית חסומה ע"י <math>\frac{b-a}2Mh</math> כאשר <math>M=\max_{x\in[a,b]}\left|f'(x)\right|</math>.* '''קירוב האינטגרל בשיטת הטרפזים:''' תהא <math>f</math> בעלת נגזרת שנייה רציפה והחלוקה <math>P</math> היא חלוקה שווה כאשר לכל <math>k</math> מתקיים <math>\Delta x_k=h</math>. אזי <math>\int\limits_a^b f\approx h\frac{f(x_0)+f(x_n)}2+h\sum_{k=1}^{n-1}f(x_k)</math> והשארית חסומה ע"י <math>\frac5{12}(b-a)Mh^2</math> כאשר <math>M=\max_{x\in[a,b]}\left|f''(x)\right|</math>.* '''קירוב האינטגרל בשיטת סימפסון:''' תהא <math>f</math> בעלת נגזרת רביעית רציפה והחלוקה <math>P</math> היא חלוקה שווה כאשר לכל <math>k</math> מתקיים <math>\Delta x_k=h</math> ו-<math>n</math> זוגי. אזי <math>\int\limits_a^b f\approx\frac h3\left(f(x_0)+4\sum_{k=1}^{n/2} f(x_{2k-1})+2\sum_{k=1}^{n/2-1}f(x_{2k})+f(x_n)\right)</math> והשגיאה חסומה ע"י <math>\frac{b-a}{180}Mh^4</math> כאשר <math>M=\max_{x\in[a,b]}\left|f^{(4)}(x)\right|</math>.
* תהיינה <math>f,g</math> אינטגרביליות ב-<math>[a,\infty)</math>. אזי <math>f+cg</math> אינטגרבילית ב-<math>[a,\infty)</math> ומתקיים <math>\int\limits_a^\infty f+cg=\int\limits_a^\infty f+c\int\limits_a^\infty g</math>.
* תהא <math>f</math> אינטגרבילית מקומית ב-<math>[a,\infty)</math> ויהי <math>b>a</math>. אזי <math>f</math> אינטגרבילית ב-<math>[a,\infty)</math> אם"ם <math>f</math> אינטגרבילית ב-<math>[b,\infty)</math> ואם כן <math>\int\limits_a^\infty f=\int\limits_a^b f+\int\limits_b^\infty f</math>.
* <math>f</math> מונוטונית עולה ב-<math>[a,\infty)</math>. אזי <math>\lim_{x\to\infty} f(x)</math> קיים אם"ם <math>\sup_x sup_{x>a}\ f(x)<\infty</math> ואם כן <math>\lim_{x\to\infty} f(x)=\sup_{x>a} \ f(x)</math>.
* <math>f</math> אי-שלילית ואינטגרבילית מקומית ב-<math>[a,\infty)</math>. אזי <math>\int\limits_a^\infty f</math> מתכנס אם"ם האינטגרלים החלקיים <math>\int\limits_a^R f</math> חסומים מלעיל, ואם לא אז <math>\int\limits_a^\infty f=\infty</math>.
* '''מבחן ההשוואה:''' נניח ש-<math>f,g</math> אי-שליליות ואינטגרביליות מקומית ב-<math>[a,\infty)</math> וכן <math>\forall x\in[a,\infty):\ f(x)\le g(x)</math>. אם <math>\int\limits_a^\infty g</math> מתכנס אז <math>\int\limits_a^\infty f</math> מתכנס.
* '''מבחן ההשוואה הגבולי:''' <math>f,g</math> אי-שליליות ואינטגרביליות מקומית ב-<math>[a,\infty)</math> וכן <math>\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}\in\mathbb R</math>. אזי אם <math>\int\limits_a^\infty g</math> מתכנס אז <math>\int\limits_a^\infty f</math> מתכנס.
:* {{הערה|מקרה פרטי:}} אם בפרט הגבול שונה מ-0 אז שני האינטגרלים מתכנסים ומתבדרים כאחד.
* '''המבחן האינטגרלי לטורים:''' תהא <math>f</math> אי-שלילית, מונוטונית יורדת ואינטגרבילית מקומית ב-<math>[k,\infty)</math> עבור <math>k\in\mathbb N</math> כלשהו. אזי <math>\int\limits_k^\infty f</math> מתכנס אם"ם <math>\sum_{n=k}^\infty f(n)</math> מתכנס.
:* {{הערה|הכללה:}} בפרט מתקיים <math>\sum_{n=k+1}^N f(n)\le\int\limits_k^N f\le\sum_{n=k}^{N-1} f(n)</math>.* תהא <math>f</math> מוגדרת ב-<math>[a,\infty)</math>. <math>\lim_{x\to\infty} f(x)</math> קיים אם"ם הוא מקיים את תנאי קושי בקטע, כלומר לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>x_0>a</math> כך שאם <math>x_2>x_1>x_0</math> אזי <math>|f(x_2)-f(x_1)|<\varepsilon</math>.
* תהא <math>f</math> אינטגרבילית מקומית ב-<math>[a,\infty)</math>. אזי <math>\int\limits_a^\infty f</math> מתכנס אם"ם <math>\forall\varepsilon>0:\ \exists x_0>a:\ \forall x_2>x_1>x_0:\ \left|\int\limits_{x_1}^{x_2} f\right|<\varepsilon</math>.
* תהא <math>f</math> אינטגרבילית מקומית ב-<math>[a,\infty)</math>. אם <math>|f|</math> אינטגרבילית בקטע אזי גם <math>f</math> אינטגרבילית בו.
==התכנסות במ"ש==
===סדרות===
* <math>f_n\to f</math> במ"ש על <math>I</math>, כלומר <math>\forall\varepsilon>0:\ \exists n_0\in\mathbb N:\ \forall n>n_0:\ \forall x\in I:\ |f(x)-f_n(x)|<\varepsilon</math>, אם"ם <math>\lim_{n\to\infty}\sup_{x\in I}\ |f(x)-f_n(x)|=0</math>.
* נניח כי <math>f_n\to f</math> במ"ש ב-<math>I</math>, ועבור <math>x_0\in I</math> כלשהו <math>f_n</math> רציפה ב-<math>x_0</math> לכל <math>n</math>. אזי <math>f</math> רציפה ב-<math>x_0</math>.
* <math>f_n\to f</math> במ"ש ב-<math>[a,b]</math> וכל <math>f_n</math> אינטגרבילית בקטע. אזי <math>f</math> אינטגרבילית בקטע ומתקיים <math>\int\limits_a^b f=\lim_{n\to\infty}\int\limits_a^b f_n</math>.
* <math>\{f_n\}_{n\in\mathbb N}</math> היא סדרת פוקציות בעלות נגזרות רציפות ב-<math>I</math>, המתכנסות במ"ש ב-<math>I</math> לפונקציה <math>g</math>. כמו כן, <math>\{f_n\}</math> מתכנסת בנקודה אחת לפחות ב-<math>I</math>. אזי <math>f=\lim_{n\to\infty} f_n</math> מוגדרת ב-<math>I</math> ומתקיים <math>f'=g</math>.
* סדרת פונקציות <math>\{f_n\}</math> מתכנסת במ"ש אם"ם היא מקיימת את תנאי קושי במ"ש, כלומר <math>\forall\varepsilon>0:\ \exists n_0\in\mathbb N:\ \forall n>m>n_0:\ \forall x\in I:\ |f_n(x)-f_m(x)|<\varepsilon</math>.
* '''משפט דיני:''' נתון כי כל <math>f_n</math> רציפה בקטע סגור <math>I</math> והסדרות <math>\{f_n(x)\}_{n\in\mathbb N}</math> עולות לכל <math>x\in I</math> או יורדות לכל <math>x\in I</math>. כמו כן, <math>f_n\to f</math> נקודתית ו-<math>f</math> רציפה ב-<math>I</math>. אזי <math>f_n\to f</math> במ"ש.
 
===טורים===
* טור פונקציות <math>\sum_{n=1}^\infty f_n</math> מתכנס במ"ש אם"ם הוא מקיימת מקיים את תנאי קושי במ"ש, כלומר <math>\forall\varepsilon>0:\ \exists n_0\in\mathbb N:\ \forall n>m>n_0:\ \forall x\in I:\ \sum_{k=m}^n f_k(x)<\varepsilon</math>.* '''מבחן ה-M של ויירשטראס:''' נניח שכל <math>f_n</math> מוגדרת ב-<math>I</math> וחסומה שם, כלומר <math>\forall x\in I:\ |f_n(x)|\le M_n</math> עבור <math>M_n</math> כלשהו, וכן <math>\sum_{n=1}^\infty M_n</math> מתכנס במובן הצר. אזי <math>\sum_{n=1}^\infty f_n</math> מתכנס בהחלט במ"ש על <math>I</math>.
* נתון כי כל <math>f_n</math> רציפה ב-<math>x_0\in I</math> וכן <math>S=\sum_{n=1}^\infty f_n</math> במ"ש על <math>I</math>. אזי <math>S</math> רציפה ב-<math>x_0</math>.
* <math>S=\sum_{n=1}^\infty f_n</math> במ"ש על <math>[a,b]</math> וכל <math>f_n</math> אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. אזי <math>S</math> אינטגרבילית בקטע ומתקיים <math>\int\limits_a^b S=\sum_{n=1}^\infty\int\limits_a^b f</math>.
* <math>\{f_n\}_{n\in\mathbb N}</math> היא סדרת פוקציות בעלות נגזרות רציפות ב-<math>I</math>. הטור <math>\sum_{n=1}^\infty f_n</math> מתכנס בנקודה אחת לפחות בקטע, וטור הנגזרות <math>s=\sum_{n=1}^\infty f_n'</math> מתכנס במ"ש על <math>I</math>. אזי <math>\sum_{n=1}^\infty f_n</math> מתכנס במ"ש לפונקציה גזירה <math>S</math> כך ש-<math>S'=s</math>.
====טורי חזקות====
* יהי <math>\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n</math> טור חזקות. רדיוס ההתכנסות <math>R=\frac1{\overline{\displaystyle\lim_{n\to\infty}}\sqrt[n]{|a_n|}}</math> מקיים שאם הנקודה <math>x</math> מקיימת <math>|x-x_0|<R</math> אזי הטור מתכנס בהחלט, ואם <math>|x-x_0|>R</math> הטור מתבדר. כמו כן, הטור מתכנס במ"ש ב-<math>[x_0-r,x_0+r]</math> לכל <math>0<r<R</math>.
* יהי <math>\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n</math> טור חזקות עם רדיוס התכנסות <math>R</math>. אם קיים <math>S=\lim_{n\to\infty}\frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}</math> במובן הרחב אזי <math>S=R</math>.
* יהי <math>f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n</math> טור חזקות עם רדיוס התכנסות <math>R>0</math>. אזי לכל <math>n\in\mathbb N\cup\{0\}</math> מתקיים <math>a_n=\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}</math>, ז"א הטור הוא טור טיילור של <math>f</math> סביב <math>x_0</math>.
* יהי <math>f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n</math> טור חזקות עם רדיוס התכנסות <math>R>0</math>. אזי <math>f</math> אינטגרבילית ב-<math>(x_0-R,x_0+R)</math> ומתקיים לכל <math>x</math> בקטע <math>\int\limits_{x_0}^x f=\sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n+1}(x-x_0)^{n+1}</math>. רדיוס ההתכנסות של טור האינטגרל הוא <math>R</math>.
* '''משפט היחידות לטורי חזקות:''' אם <math>\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n=\sum_{n=0}^\infty b_n(x-x_0)^n</math> לכל <math>x\in I\ne\varnothing</math> אזי <math>\forall n:\ a_n=b_n</math>.
* '''משפט אבל:''' נניח ש-<math>f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n</math> טור חזקות בעל רדיוס התכנסות <math>R</math>. אם <math>\sum_{n=0}^\infty a_nR^n</math> קיים אזי <math>\lim_{x\to x_0+R^-}f(x)</math> קיים ושווה לו, ואם <math>\sum_{n=0}^\infty a_n(-R)^n</math> קיים אזי <math>\lim_{x\to(x_0-R)^+}f(x)</math> קיים ושווה לו.
* '''משפט דיני:''' נתון כי כל <math>f_n</math> רציפה בקטע סגור <math>I</math> והסדרות <math>\{f_n(x)\}_{n\in\mathbb N}</math> עולות לכל <math>x\in I</math> או יורדות לכל <math>x\in I</math>. כמו כן, <math>f_n\to f</math> נקודתית ו-<math>f</math> רציפה ב-<math>I</math>. אזי <math>f_n\to f</math> במ"ש.
=השתנות חסומה=
* תהנה <math>g,h</math> פונקציות מונוטוניות עולות ב-<math>[a,b]</math> ונגדיר <math>f=g-h</math> בעלת השתנות חסומה בקטעסגור. אזי ל-<math>f</math> יש השתנות חסומה בקטע.* תהי <math>f</math> בעלת השתנות חסומה ב-בקטע סגור אם"ם יש <math>[ag,b]h</math>. אזי קיימות פונקציות מונוטוניות עולות <math>g,h</math> בקטע כך ש-<math>f=g-h</math>.
* תהי <math>f</math> בעלת השתנות חסומה ב-<math>[a,b]</math>. אזי לכל <math>x_0\in[a,b)</math> קיים <math>\lim_{x\to x_0^+} f(x)</math> ולכל <math>x_0\in(a,b]</math> קיים <math>\lim_{x\to x_0^-} f(x)</math>.
* תהי <math>f</math> בעלת השתנות חסומה ב-<math>[a,b]</math>. אזי f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>.