שינויים

* אם <math>F</math> ו-<math>,G</math> קדומות ל-<math>f</math> בקטע <math>I</math> בנקודה כלשהי אז קיים קבוע <math>c</math> כך ש-<math>F(x)=G(x)+c</math>.:לכל פונקציה *אם <math>f</math> מוגדרת וחסומה בקטע חסומה ב- <math>[a,b]</math> מתקיים::* אם <math>P</math> חלוקה של הקטע אזי <math>m(b-a)\le\underline S(f,P)\le\overline S(f,P)\le M(b-a)</math>.:* אם <math>P</math> חלוקה של הקטע ו-<math>Q</math> עידון של <math>P</math> כך ש-<math>|Q|=|P|+r</math> {{הערה|(כלומר, <math>Q</math> מתקבלת מ-<math>P</math> ע"י הוספת <math>r</math> נקודות)}} ו- <math>f</math> חסומה בקטע אזי <math>0\le\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)\le r\lambda(P)\Omega</math> וכן <math>0\le\underline S(f,Q)-\underline S(f,P)\le r\lambda(P)\Omega</math>.:* לכל שתי חלוקות חלוקה <math>Q</math> של הקטע הנתון (לאו דווקא העדנה של <math>P</math> ו-), אם <math>Qf</math> של הקטע מתקיים חסומה בקטע אזי <math>\underline S(f,P)\le\overline S(f,Q)</math>.:* אם לכל <math>f</math> אינטגרבילית בקטע אז מתקיים <math>\underline{\int_aint\limits_a^b }f\le\overline{\int}_a\limits_a^b }f</math>.:* לכל חלוקה תהי <math>Pf</math> מתקיים חסומה. אזי <math>\underline{\int_aint\limits_a^b }f=\lim_lim\limits_{\lambda(P)\to0}\underline S(f,P)</math> וגם <math>\overline{\int}_a\limits_a^b }f=\lim_lim\limits_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)</math>.:* נניח כי <math>f</math> חסומה. <math>f</math> אינטגרבילית בקטע אם"ם <math>\lim_lim\limits_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=0</math>.:* נניח כי <math>f</math> חסומה. <math>f</math> אינטגרבילית בקטע אם"ם לכל <math>\varepsilon>0</math> קיימת חלוקה <math>P</math> של <math>[a,b]</math> כך ש-<math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P)<\varepsilon</math>.:* אם <math>f</math> רציפה בקטע אזי היא אז <math>f</math> אינטגרבילית בו.::* '''{{הערה|הכללה:''' }} אם <math>f</math> רציפה ב-וחסומה בקטע הפתוח <math>(a,b)</math> אזי היא אינטגרבילית ב-<math>[a,b]f</math>אינטגרבילית.:::* '''{{הערה|הכללה להכללה:''' }} אם <math>f</math> רציפה ב-<math>[a,b]</math> פרט למספר בקטע בכל נקודה למעט במספר סופי של נקודות אז והיא חסומה אזי <math>f</math> אינטגרבילית ב-.* אם <math>[a,b]f</math>מונוטונית אזי היא אינטגרבילית.:* נניח ש-כי <math>a<c<b</math>. אזי <math>f</math> אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> , ב- <math>[a,c]</math> וב-<math>[c,b]</math> אם"ם היא אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>, ואם כן אז <math>\int\limits_a^b f=\int\limits_a^c f+\int\limits_c^bf</math>.::* '''{{הערה|הכללה:''' }} עבור <math>f</math> כנ"ל ו-<math>a=x_0,x_1,\dots,x_n=b</math> (הנקודות לאו דווקא מסודרות בסדר עולה) מתקיים <math>\int\limits_a^b f=\sum_sum\limits_{k=1}^n\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f</math>.:* תהי אם <math>P'=\{a,c_1,c_2,\dots,c_n,b\}f</math> חלוקה נוספת של <math>[a,b]</math> כך ש-<math>\forall1\le k\le n:\ c_k\in[x_{k-1},x_k]</math>. אזי חסומה אז <math>\underline S(f,P)\le S(f,P,P')\le\overline S(f,P)</math>. יתר על כן, <math>\underline S(f,P):=\inf_{P'}\ S(f,P,P')</math> ו-<math>\overline S(f,P):=\sup_{P'}\ S(f,P,P')</math>.:* הגדרות האינטגרל לפי דרבו דארבו ולפי רימן רימאן שקולות.* אם <math>f</math> מוגדרת ומונוטונית בקטע <math>[a,b]</math> אזי היא אינטגרבילית בו.'''לינאריות: תהיינה ''' עבור <math>f,g</math> אינטגרביליות ב-<math>[a,b]</math>, ו-<math>c</math> קבוע. אזי::* '''לינאריות:''' מתקיים <math>\int\limits_a^b (f+cg)=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g</math>.:* '''מונוטוניות:''' אם <math>f,g</math> אינטגרביליות וכן <math>\forall x\in[a,b]:\ f(x)\ge g(x)</math> אז אזי <math>\int\limits_a^b f\ge\int\limits_a^b g</math>.::* '''חיוביות:''' בפרט מתקיים שאם <math>\forall x\in[a,b]:\ f(x)\ge0</math> אינטגרביליות ואי-שלילית אזי <math>\int\limits_a^b f\ge0</math>.:* '''הכללה לאי-שיוויון שוויון המשולש:''' גם אם <math>|f|</math> אינטגרבילית בקטע אז <math>f</math> אינטגרבילית ו-<math>\left|\int\limits_a^b f\right|\le\int\limits_a^b |f|</math>.:* אם <math>m\le f(x)\le M</math> בקטע אינטגרבילית וחסומה אז <math>m(b-a)\le\int\limits_a^b f\le M(b-a)</math>.::* בפרט, {{הערה|מקרה פרטי:}} אם <math>\forall x\in[a,b]:|f(x)|\le M</math> ו- <math>f</math> אינטגרבילית אז <math>\left|\int\limits_a^b f\right|\le M(b-a)</math>.::* בפרט, {{הערה|מקרה פרטי:}} אם <math>f(x)=M</math> (פונקציה קבועה) אז <math>\int\limits_a^b f=M(b-a)</math>.:*'''המשפט היסודי של חשבון אינטגרלי:''' תהי <math>f</math> אינטגרבילית בותהי <math>F</math> כך ש-<math>\forall x\in[a,b]:F(x):=\int\limits_a^x f</math>. אזי <math>F</math> רציפה וכן לכל נקודה <math>x_0\in[a,b]</math> שבה <math>f</math> רציפה, ותהי <math>F</math> קדומה ל-<math>f</math> (כלומר, <math>F</math> גזירה ב- <math>x_0</math> כך ש-<math>F'(x_0)=f(x_0)</math>).*'''נוסחת ניוטון-לייבניץ:''' תהי <math>f</math> רציפה. אזי <math>\forall xint\inlimits_a^b f=\Big[F(x)\Big]_a^b=F(b)-F(a)</math> .*לכל <math>f</math> רציפה יש פונקציה קדומה.*'''אינטגרציה בחלקים:''' נניח כי <math>f',g'</math> רציפות. אזי <math>\int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx</math> .:*<math>\int\limits_a^bf\cdot g'=\Big[f(x)g(x)\Big]_a^b-\int\limits_a^b f'\cdot g</math>*'''שיטת ההצבה:''' <math>\ int f(g(x))g'(x)dx=F(g(x)){\color{Gray}+c}</math> .:*<math>\int\limits_a^b f(g(x))g'(x)\mathrm dx=\int\limits_{g(a)}^{g(b)}f</math>*כל פונקציה רציונאלית <math>\frac{p}{q}</math> כך ש- <math>\deg(p)<\deg(q)</math> ניתנת לפירוק יחיד כסכום של שברים חלקיים <math>\frac{A}{(x-x_0)^n}+\frac{Bx+c}{(x^2+bx+c)^k}</math> כאשר <math>A,B,C,x_0\in\R\ \and\ n,k\in\N</math> ול- <math>x^2+bx+c</math> אין שורשים ממשיים.*נפח גוף הסיבוב הנוצר מסיבוב השטח שמתחת ל- <math>f</math> אי-שלילית בקטע <math>[a,b]</math> סביב ציר ה- <math>x</math> הוא <math>\int\limits_a^b\pi f(x )^2dx</math> .*אם <math>f</math> רציפה אז הממוצע שלה בקטע <math>[a,b]</math> הוא <math>\frac{1}{b-a}\int\limits_a^b f</math>.:* אם <math>Ff</math> מוגדרת ורציפה בגזירה אז אורך הגרף שלה בקטע <math>[a,b]</math> הוא <math>\int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}dx</math> .*שטח המעטפת (ללא הבסיסים) של גוף סיבוב הנוצר מסיבוב הגרף של <math>f</math> רציפה סביב ציר ה-<math>x</math> בקטע <math>[a,b]</math> הוא <math>\int\limits_a^b 2\pi f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}dx</math>.*'''קירוב האינטגרל בעזרת טורי טיילור:''' תהא <math>f</math> בעלת נגזרת <math>n</math>-ית רציפה. אזי <math>\int\limits_a^b f\approx\int\limits_a^b P_n</math> כאשר <math>P_n</math> הוא פיתוח טיילור מסדר <math>n</math> של <math>f</math> והשארית היא <math>\int\limits_a^b R_n=f^{(n+1)}(c)\frac{b^{n+2}-a^{n+2}}{(n+2)!}</math> עבור <math>\min\{a,x_0\}\le c\le\max\{b,x_0\}</math> כאשר פיתוח טיילור נעשה סביב <math>x_0</math> .* '''קירוב האינטגרל בשיטת המלבנים:''' תהא <math>f</math> בעלת נגזרת רציפה והחלוקה <math>P</math> היא חלוקה שווה כאשר לכל <math>k</math> מתקיים <math>\Delta x_k=h</math> . אזי <math>\int\limits_a^b f\approx h\sum\limits_{k=1}^n f(x_k)</math> והשארית חסומה ע"י <math>\frac{b-a}2Mh</math> כאשר <math>M=\max\limits_{x\in[a,b]}\big|f'(x)\big|</math> שבה .*'''קירוב האינטגרל בשיטת הטרפזים:''' תהא <math>f</math> בעלת נגזרת שניה רציפהוהחלוקה <math>P</math> היא חלוקה שווה כאשר לכל <math>k</math> מתקיים <math>\Delta x_k=h</math>. אזי <math>\int\limits_a^b f\approx h\frac{f(x_0)+f(x_n)}2+h\sum\limits_{k=1}^{n-1}f(x_k)</math> והשארית חסומה ע"י <math>\frac5{12}(b-a)Mh^2</math> כאשר <math>M=\max\limits_{x\in[a, b]}\big|f''(x)\big|</math>F.*'''קירוב האינטגרל בשיטת סימפסון:''' תהא <math>f</math> קדומה לבעלת נגזרת רביעית רציפה והחלוקה <math>P</math> היא חלוקה שווה כאשר לכל <math>k</math> מתקיים <math>\Delta x_k=h</math> ו-<math>n</math> זוגי. אזי <math>\int\limits_a^b f\approx\frac h3\left(f(x_0)+4\sum\limits_{k=1}^\frac{n}{2} f(x_{2k-1})+2\sum\limits_{k=1}^{\frac{n}{2}-1}f(x_{2k})+f(x_n)\right)</math> והשגיאה חסומה ע"י <math>\frac{b-a}{180}Mh^4</math> כאשר <math>M=\max\limits_{x\in[a,b]}\left|f^{(כלומר4)}(x)\right|</math> .*תהיינה <math>f, g</math>Fאינטגרביליות ב- <math>[a,\infty)</math> גזירה ו. אזי <math>f+cg</math> אינטגרבילית ב-<math>F[a,\infty)</math> ומתקיים <math>\int\limits_a^\infty f+cg=\int\limits_a^\infty f+c\int\limits_a^\infty g</math> .*תהא <math>f</math> אינטגרבילית מקומית ב- <math>[a,\infty)</math> ויהי <math>a<b</math> . אזי <math>f</math> אינטגרבילית ב- <math>[a,\infty)</math> אם"ם <math>f</math> אינטגרבילית ב- <math>[b,\infty)</math> ואם כן <math>\int\limits_a^\infty f=\int\limits_a^b f+\int\limits_b^\infty f</math> .*<math>f</math> מונוטונית עולה ב- <math>[a,\infty)</math>. אזי <math>\lim\limits_{x\to\infty}f(x)</math> קיים אם"ם <math>\sup\limits_{x>a}\ f(x)<\infty</math> ואם כן <math>\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=\sup\limits_{x>a}\ f(x)</math> .*<math>f</math> אי-שלילית ואינטגרבילית מקומית ב- <math>[a,\infty)</math> . אזי <math>\int\limits_a^\infty f</math> מתכנס אם"ם האינטגרלים החלקיים <math>\int\limits_a^R f</math> חסומים מלעיל, ואם לא אז <math>\int\limits_a^\infty f=\infty</math> .*'''מבחן ההשוואה:''' נניח <math>f,g</math> אי-שליליות ואינטגרביליות מקומית ב- <math>[a,\infty)</math> וכן <math>\forall x\in[a,\infty):\ f(x)\le g(x)</math> . אם <math>\int\limits_a^\infty g</math> מתכנס אז <math>\int\limits_a^\infty f</math> מתכנס.*'''מבחן ההשוואה הגבולי:''' <math>f,g</math> אי-שליליות ואינטגרביליות מקומית ב- <math>[a,\infty)</math> וכן <math>\lim\limits_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}\in\R</math> . אזי אם <math>\int\limits_a^\infty g</math> מתכנס אז <math>\int\limits_a^\infty f</math> מתכנס.:*{{הערה|מקרה פרטי:}} אם בפרט הגבול שונה מ-0 אז שני האינטגרלים מתכנסים ומתבדרים כאחד.*'''המבחן האינטגרלי לטורים:''' תהא <math>f</math> אי-שלילית, מונוטונית יורדת ואינטגרבילית מקומית ב- <math>[k,\infty)</math> עבור <math>k\in\N</math> כלשהו. אזי <math>\int\limits_k^\infty f</math> מתכנס אם"ם <math>\sum\limits_{n=k}^\infty f(n)</math> מתכנס.:*בפרט מתקיים <math>\sum\limits_{n=k+1}^N f(n)\le\int\limits_k^N f\le\sum\limits_{n=k}^{N-1} f(n)</math> .*תהא <math>f</math> מוגדרת ב- <math>[a,\infty)</math> . <math>\lim\limits_{x\to\infty}f(x)</math>קיים אם"ם הוא מקיים את תנאי קושי בקטע, כלומר לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>x_0>a</math> כך שאם <math>x_2>x_1>x_0</math> אזי <math>\Big|f(x_2)-f(x_1)\Big|<\varepsilon</math> .*תהא <math>f</math> אינטגרבילית מקומית ב-<math>[a,\infty)</math> . אזי <math>\int\limits_a^\infty f</math> מתכנס אם"ם <math>\forall\varepsilon>0:\ \exists x_0>a:\ \forall x_2>x_1>x_0:\ \left|\int\limits_{x_1}^{x_2} f\right|<\varepsilon</math> .*תהא <math>f</math> אינטגרבילית מקומית ב- <math>[a,\infty)</math> . אם <math>|f|</math> אינטגרבילית בקטע אזי גם <math>f</math> אינטגרבילית בו.* '''נוסחת ניוטוןמבחן דיריכלה:''' תהא <math>f</math> רציפה ב-לייבניץ<math>[a,\infty)</math> ונניח שהאינטגרלים החלקיים <math>\int\limits_a^b f</math> חסומים כאשר <math>b\to\infty</math> . כמו כן תהא <math>g</math> מונוטונית ובעלת נגזרת רציפה ב- <math>[a,\infty)</math> ו- <math>\lim\limits_{x\to\infty}g(x)=0</math> . אזי <math>\int\limits_a^\infty f\cdot g</math> מתכנס.*'''סכימה בחלקים:''' <math>\sum\limits_{n=1}^N a_nb_n=\sum\limits_{n=1}^{N-1}S_n(b_n-b_{n+1})+S_Nb_N</math> כאשר <math>S_n=\sum\limits_{k=1}^n a_k</math> .*'''משפט דיריכלה לטורים:''' נניח שלטור <math>\sum\limits_{n=1}^N a_n</math> יש סכומים חלקיים חסומים ונניח <math>\{b_n\}</math> סדרה מונוטונית כך ש-<math>b_n\to0</math> . אזי <math>\sum\limits_{n=1}^\infty a_nb_n</math> מתכנס.*אם <math>f,g</math> אינטגרביליות ב- <math>(a,b]</math> אזי לכל <math>c</math> מתקיים <math>\int\limits_a^b f+cg=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g</math> .*עבור <math>c\in(a,b)</math> ו- <math>f</math> אינטגרבילית מקומית ב- <math>(a,b]</math> , <math>f</math> אינטגרבילית בקטע אם"ם <math>f</math> אינטגרבילית ב-<math>(a,c]</math>, ואם כן <math>\int\limits_a^b f=\int\limits_a^c f+\int\limits_b^c f</math> .*תהי <math>f</math> מונוטונית ב- <math>(a,b]</math> . אזי <math>\lim\limits_{x\to a^+}f(x)</math> קיים אם"ם <math>f</math> חסומה ב- <math>(a,b]</math> .*אם <math>f</math> אי-שלילית ואינטגרבילית מקומית ב- <math>(a,b]</math> אז <math>f</math> אינטגרבילית ב- <math>(a,b]</math> אם"ם האינטגרלים החלקיים <math>\int\limits_c^b f</math> חסומים כאשר <math>c\to a^+</math> .*'''מבחן ההשוואה:''' <math>f,g</math> אי-שליליות ואינטגרביליות מקומיות ב- <math>(a,b]</math> וכן <math>\forall \in(a,b]:\ f(x)\le g(x)</math> . אם <math>\int\limits_a^b g</math> מתכנס אזי <math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס.*'''מבחן ההשוואה הגבולי:''' <math>f,g</math> אי-שליליות ואינטגרביליות מקומית ב- <math>(a,b]</math> וקיים <math>\lim\limits_{x\to a^+}\frac{f(x)}{g(x)}</math> . אם <math>\int\limits_a^b g</math> מתכנס אז <math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס.:*{{הערה|מקרה פרטי:}} אם בפרט הגבול שונה מ-0 אז שני האינטגרלים מתכנסים ומתבדרים כאחד.* תהא <math>f</math> אינטגרבילית מקומית ב-<math>(a,b]</math> . אזי <math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס אם"ם <math>\forall\varepsilon>0:\ \exists x_0\in(a,b):\ \forall a<x_1<x_2<x_0:\ \left|\int\limits_{x_1}^{x_2}f\right|<\varepsilon</math> .*תהא <math>f</math> אינטגרבילית מקומית ב- <math>(a,b]</math> . אם <math>\int\limits_a^b|f|</math> מתכנס אז <math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס. =סדרות וטורים של פונקציות===התכנסות במ"ש=====סדרות===* <math>f_n\to f</math> במ"ש על <math>I</math>, כלומר <math>\forall\varepsilon>0:\ \exists n_0\in\mathbb N:\ \forall n>n_0:\ \forall x\in I:\ |f(x)-f_n(x)|<\varepsilon</math>, אם"ם <math>\lim_{n\to\infty}\sup_{x\in I}\ |f(x)-f_n(x)|=0</math>.* נניח כי <math>f_n\to f</math> במ"ש ב-<math>I</math>, ועבור <math>x_0\in I</math> כלשהו <math>f_n</math> רציפה ב-<math>x_0</math> לכל <math>n</math>. אזי <math>f</math> רציפה ב-<math>x_0</math>.* <math>f_n\to f</math> במ"ש ב-<math>[a,b]</math>וכל <math>f_n</math> אינטגרבילית בקטע. אזי <math>f</math> אינטגרבילית בקטע ומתקיים <math>\int\limits_a^b f=[F\lim_{n\to\infty}\int\limits_a^b f_n</math>.* <math>\{f_n\}_{n\in\mathbb N}</math> היא סדרת פוקציות בעלות נגזרות רציפות ב-<math>I</math>, המתכנסות במ"ש ב-<math>I</math> לפונקציה <math>g</math>. כמו כן, <math>\{f_n\}</math> מתכנסת בנקודה אחת לפחות ב-<math>I</math>. אזי <math>f=\lim_{n\to\infty} f_n</math> מוגדרת ב-<math>I</math> ומתקיים <math>f'=g</math>.* סדרת פונקציות <math>\{f_n\}</math> מתכנסת במ"ש אם"ם היא מקיימת את תנאי קושי במ"ש, כלומר <math>\forall\varepsilon>0:\ \exists n_0\in\mathbb N:\ \forall n>m>n_0:\ \forall x\in I:\ |f_n(x)]-f_m(x)|<\varepsilon</math>.* '''משפט דיני:''' נתון כי כל <math>f_n</math> רציפה בקטע סגור <math>I</math> והסדרות <math>\{f_n(x)\}_{n\in\mathbb N}</math> עולות לכל <math>x\in I</math> או יורדות לכל <math>x\in I</math>. כמו כן, <math>f_n\to f</math> נקודתית ו-<math>f</math> רציפה ב-<math>I</math>. אזי <math>f_n\to f</math> במ"ש. ===טורים===* טור פונקציות <math>\sum_{n=1}^\infty f_n</math> מתכנס במ"ש אם"ם הוא מקיים את תנאי קושי במ"ש, כלומר <math>\forall\varepsilon>0:\ \exists n_0\in\mathbb N:\ \forall n>m>n_0:\ \forall x\in I:\ \sum_{k=m}^n f_k(x)<\varepsilon</math>.* '''מבחן ה-M של ויירשטראס:''' נניח שכל <math>f_n</math> מוגדרת ב-<math>I</math> וחסומה שם, כלומר <math>\forall x\in I:\ |f_n(x)|\le M_n</math> עבור <math>M_n</math> כלשהו, וכן <math>\sum_{n=1}^\infty M_n</math> מתכנס במובן הצר. אזי <math>\sum_{n=1}^\infty f_n</math> מתכנס בהחלט במ"ש על <math>I</math>.* נתון כי כל <math>f_n</math> רציפה ב-<math>x_0\in I</math> וכן <math>S=\sum_{n=1}^\infty f_n</math> במ"ש על <math>I</math>. אזי <math>S</math> רציפה ב-<math>x_0</math>.* <math>S=\sum_{n=1}^\infty f_n</math> במ"ש על <math>[a,b]</math> וכל <math>f_n</math> אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. אזי <math>S</math> אינטגרבילית בקטע ומתקיים <math>\int\limits_a^b S=\sum_{n=1}^\infty\int\limits_a^bf</math>.* <math>\{f_n\}_{n\in\mathbb N}</math> היא סדרת פונקציות בעלות נגזרות רציפות ב-<math>I</math>. הטור <math>\sum_{n=F1}^\infty f_n</math> מתכנס בנקודה אחת לפחות בקטע, וטור הנגזרות <math>s=\sum_{n=1}^\infty f_n'</math> מתכנס במ"ש על <math>I</math>. אזי <math>\sum_{n=1}^\infty f_n</math> מתכנס במ"ש לפונקציה גזירה <math>S</math> כך ש-<math>S'=s</math>. ====טורי חזקות====* יהי <math>\sum_{n=0}^\infty a_n(bx-x_0)^n</math> טור חזקות. רדיוס ההתכנסות <math>R=\frac1{\overline{\displaystyle\lim_{n\to\infty}}\sqrt[n]{|a_n|}}</math> מקיים שאם הנקודה <math>x</math> מקיימת <math>|x-Fx_0|<R</math> אזי הטור מתכנס בהחלט, ואם <math>|x-x_0|>R</math> הטור מתבדר. כמו כן, הטור מתכנס במ"ש ב-<math>[x_0-r,x_0+r]</math> לכל <math>0<r<R</math>.* יהי <math>\sum_{n=0}^\infty a_n(ax-x_0)^n</math> טור חזקות עם רדיוס התכנסות <math>R</math>. אם קיים <math>S=\lim_{n\to\infty}\frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}</math> במובן הרחב אזי <math>S=R</math>.* יהי <math>\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n</math> טור חזקות עם רדיוס התכנסות <math>R>0</math>. אזי <math>f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n</math> היא פונקציה המוגדרת ב-<math>(x_0-R,x_0+R)</math>, כך שנגזרתה בקטע זה היא <math>f'(x)=\sum_{n=1}^\infty n a_n(x-x_0)^{n-1}</math>.:* {{הערה|הכללה:}} בתנאים הללו, <math>f</math> גזירה אינסוף פעמים ו-<math>f^{(k)}(x)=\sum_{n=k}^\infty\frac{n!}{(n-k)!}a_n(x-x_0)^{n-k}</math> לכל <math>k\in\mathbb N\cup\{0\}</math>. יתרה מזאת, רדיוס ההתכנסות של הטורים הגזורים הוא <math>R</math>.* יהי <math>f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n</math> טור חזקות עם רדיוס התכנסות <math>R>0</math>. אזי לכל <math>n\in\mathbb N\cup\{0\}</math> מתקיים <math>a_n=\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}</math>, ז"א הטור הוא טור טיילור של <math>f</math> סביב <math>x_0</math>.* יהי <math>f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n</math> טור חזקות עם רדיוס התכנסות <math>R>0</math>. אזי <math>f</math> אינטגרבילית ב-<math>(x_0-R,x_0+R)</math> ומתקיים לכל <math>x</math> בקטע <math>\int\limits_{x_0}^x f=\sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n+1}(x-x_0)^{n+1}</math>. רדיוס ההתכנסות של טור האינטגרל הוא <math>R</math>.* '''משפט היחידות לטורי חזקות:''' אם <math>\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n=\sum_{n=0}^\infty b_n(x-x_0)^n</math> לכל <math>x\in I</math> אזי <math>\forall n:\ a_n=b_n</math>.* '''משפט אבל:''' נניח ש-<math>f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n</math> רציפה טור חזקות בעל רדיוס התכנסות <math>R</math>. אם <math>\sum_{n=0}^\infty a_nR^n</math> קיים אזי <math>\lim_{x\to x_0+R^-}f(x)</math> קיים ושווה לו, ואם <math>\sum_{n=0}^\infty a_n(-R)^n</math> קיים אזי <math>\lim_{x\to(x_0-R)^+}f(x)</math> קיים ושווה לו. =השתנות חסומה=* <math>f</math> בעלת השתנות חסומה בקטע אז סגור. אזי <math>f</math> חסומה.* <math>f</math> בעלת השתנות חסומה בקטע סגור אם"ם יש לה שם פונקציה קדומה<math>g,h</math> מונוטוניות עולות בקטע כך ש-<math>f=g-h</math>.* תהי <math>f</math> בעלת השתנות חסומה ב-<math>[a,b]</math>. אזי לכל <math>x_0\in[a,b)</math> קיים <math>\lim_{x\to x_0^+} f(x)</math> ולכל <math>x_0\in(a,b]</math> קיים <math>\lim_{x\to x_0^-} f(x)</math>.* תהי <math>f</math> בעלת השתנות חסומה ב-<math>[a,b]</math>. אזי <math>f</math> אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>.