= אינטגרבליות ={{כותרת נושא|אינטגרביליות|נושא ראשון}}
'''מטרה:''' לחשב שטח (דו-מימדי במקרה שלנו, כי אינפי מדבר על <math>\mathbb R</math>).
היום נדבר על הראשונה.
== אינטגרבליות לפי דרבו ==
נסמן <math>M_i:=\sup_{x\in[x_{i-1},x_i]} f(x)</math> ו-<math>m_i:=\inf_{x\in[x_{i-1},x_i)]} f(x)</math>. כמו כן, לכל חלוקה T נגדיר <math>\overline S(T):=\sum_{i=1}^n M_i \Delta x_i</math> ו-<math>\underline S(T):=\sum_{i=1}^n m_i \Delta x_i</math>.
כמו כן נגדיר
{{left|
<math>\overline I:=\inf\{\overline S(T):\ </math> חלוקה <math>T\}</math>
<math>\underline I:=\sup\{\underline S(T):\ </math> חלוקה <math>T\}</math>
}}
אם <math>\overline I=\underline I</math> אז f אינטגרבילית לפי דרבו וערך האינטגרל הוא ערך זה.
===דוגמה 1===הוכח עעפ"פ י הגדרת האינטגרל שהפונקציה <math>f(x)=x</math> אינטגרבילית בקטע <math>[0,1]</math> ומצא עעפ"פ י ההגדרה את ערך האינטגרל.
====פתרון====
'''דרך 1:''' חישוב ע"י משולש.
'''הערה:''' נשים לב שכדי להוכיח אינטגרביליות היינו יכולים להראות שלכל חלוקה כך ש-<math>\Delta x\to0</math> מתקיים <math>\overline I=\underline I</math>.
===דוגמה 2==='''''יש טעותחשב את השטח שמתחת לעקומה <math>y=9-x^2</math> בקטע <math>[0, היא תתוקן בהמשך'''''3]</math>. קבע בפרוט אם f אינטגרבילית.
חשב את השטח שמתחת לעקום ===פתרון===באופן כללי צריך לבחור חלוקה <math>y=9-x^2T_n</math> ומעל לקטע שעבורה <math>[0,3]\lambda(T_n)\to0</math> כאשר , למשל <math>x_k^x_i=\starfrac{3i}n</math> פעם אחת נקודת קצה ימנית ופעם אחת נקודת קצה שמאלית. קבע בפרוט אם f אינטגרבילית. ====פתרון====''תזכורת:'' חייבים כאשר <math>x_k^n\to\starinfty</math> בכל תת קטע כי מחפשים פעם ראשונה סופרימום ופעם שנייה אינפימום (אנחנו לא יודעים מפורשות איפה היא נמצאת). נחלק את הקטע <math>[0,3]</math>, נבחר חלוקה המקיימת ולכן <math>\Delta xx_i=\frac3n\to0</math>). (לדוגמהנבנה סכום דרבו מתאים: בחרנו חלוקה {|{{=|l=\underline S |r=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^n\frac3n f\left(\frac{3i}n\right) |c=ברור ש-<math>m_i=\Delta inf_{x=\frac3nin[x_{i-1},x_i]} f(x)=9-x_i^2</math>.ולכן:}}כאשר <math>k{{=|r=\inlim_{n\to\infty}\frac3n\sum_{i=0,1,}^n\left(9-\frac{3^2i^2,}{n^2}\dotsright)}}{{=|r=\lim_{n\to\infty}</math> מתקיים <math>\Delta x_kfrac3n\cdot9n-\frac3n\cdot\frac9{n^2}\sum_{i=0}^n i^2}}{{=|r=\lim_{n\to\infty}27-\frac{3k27}{n^3}</math>\sum_{i=0}^n i^2}}{{=|r=\lim_{n\to\infty}27-\frac{27}{n^3}\frac{n(n+1). נשים לב שבקטע f יורדת (נקודה ימנית תתן אינפימום ונקודה שמאלית תתן סופרימום2n+1).}6}}{{=|r=27-\frac{27\cdot2}6}}{{=|r=18}}|}
באותו אופן מגיעים ל-<math>\underline overline S=18</math> ולכן <math>\lim_{int\Delta x\to0}\sum_{k=1}limits_0^n \Delta x\cdot 3 f(\underbrace{\Delta x\cdot k}_{=x_k^\star})=\lim_18</math>. {\Delta x\to0}\Delta x\sum_{k=1משל}^n (9-(\Delta x\cdot k)^2)=\lim_{\Delta x\to0}\Delta x\sum_{k=1}^n (9-\Delta x^2\cdot k^2)</math>
===דוגמה 3===
הוכח או הפרך: אם {{ltr|{{!}}f{{!}}}} אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> אז f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>.
====פתרון====
'''הפרכה:''' נבחר את הפונקציה <math>f(x)=\begin{cases}1&x\in\mathbb Q\\-1&x\not\in\mathbb Q\end{cases}=2D(x)-1</math> (כאשר <math>D(x)</math> היא פונקצית דיריכלה). ברור כי <math>|f|</math> אינטגרבילית (כי היא קבועה). לעומת זאת, אם נבחר חלוקה של מספרים אי רציונלים נחלק סכום שלילי, ואם נבחר חלוקה של מספרים רציונלים נקבל סכום חיובי. לכן f אינה אינטגרבילית. {{משל}}
'''הערה:''' נראה בהמשך כי אינטגרביליות לפי רימן שקולה לאינטגרביליות לפי דרבו (שם אפשרי לבחור כל נקודה בתת קטע). הפתרון במקרה זה היה יכול להיות יפה יותר.
===דוגמה 4===
הוכח או הפרך: אם f חסומה ב-<math>[a,b]</math> ולכל <math>[c,b]\subset[a,b]</math> f אינטגרבילית ב-<math>[c,b]</math> אז f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>.
====פתרון====
'''הוכחה:''' יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. המטרה שלנו היא להראות כי יש חלוקה <math>T_\varepsilon</math> של <math>[a,b]</math> המקיימת ש-<math>\overline S(T_\varepsilon)-\underline S(T_\varepsilon)<\varepsilon</math>.
{{משל}}
===דוגמה 5===חשב <math>\lim_{n\to\infty}\frac1n\left(e^{\frac1n}+e^{\frac2n}+\dots+e^{\frac{n-1}n}+e\right)</math>.
====פתרון====
נשים לב שמוגדר למעשה סכום של מלבנים. נסתכל על הפונקציה <math>e^x</math> בקטע <math>[0,1]</math>. <math>e^x</math> פונקציה אינטגרבילית. הגבול הנתון הוא <math>\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{i=1}^n e^{\frac{i}{n}}</math>, וזוהי בדיוק ההגדרה של אינטגרל מסויים. לכן <math>\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{i=1}^n e^{\frac{i}{n}}=\int\limits_0^1 e^xdx</math>.
לפי המשפט היסודי זה שווה ל-<math>[e^x]_0^1=e^1-e^0=e-1</math> (הפונקציה הקדומה של <math>e^x</math> היא <math>e^x</math>). {{משל}}
----
'''משפט:''' תנאי הכרחי כדי שפונקציה <math>f(x)</math> תהיה אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> הוא ש-f חסומה בקטע.
'''משפט:''' אם f חסומה בקטע <math>[a,b]</math> ורציפה פרט אולי למספר סופי של נקודות אי רציפות אז f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>.
===דוגמה 6===
קבע מי מהפונקציות הבאות אינטגרבילית:
<ol>
<li>
<math>f(x)=\begin{cases}\tan(x)&0\le x<\tfrac\pi2\\1&x=\tfrac\pi2\end{cases}</math> בקטע <math>\left[0,\tfrac\pi2\right]</math>.
====פתרון====
'''לא אינטגרבילית:''' מתקיים <math>\lim_{k\to\frac\pi2^-}f(x)=\lim_{k\to\frac\pi2^-}\tan(x)=\lim_{k\to\frac\pi2^-}\frac{\sin(x)}{\cos(x)}=\infty</math>. לפיכך f לא חסומה ולכן לא אינטגרבילית. {{משל}}
</li>
<li>
<math>f(x)=\begin{cases}\sin\left(\frac1x\right)&x\ne0\\0&x=0\end{cases}</math> בקטע <math>[-1,1]</math>.
====פתרון====
'''כן אינטגרבילית:''' נשים לב כי <math>-1\le\sin\left(\frac1x\right)\le1</math>. בנוסף יש לנו נקודת אי-רציפות יחידה ב-<math>x=0</math> ולכן f אינטגרבילית. {{משל}}
</li>
</ol>