גרסה מ־14:14, 28 ביוני 2011

תוכן עניינים

1 התכנסות במ"ש (המשך)

התכנסות במ"ש (המשך)

משפט דיני

$f_n$ סדרת פונקציות רציפה המוגדרת בקטע $[a,b]$ ומתכנסת נקודתית בקטע זה לפונקציה רציפה f. בנוסף $\{f_n(x)\}$ סדרה עולה לכל $x\in[a,b]$ . אזי $f_n$ מתכנסת במ"ש ב- $[a,b]$ .

דוגמה 1

בדוק הכנסות עבור הסדרה $f_n(x)=\sqrt[n]{\sin(x)}$ בקטע

$\left[\tfrac\pi4,\tfrac34\pi\right]$
פתרון
נשים לב שעבור x בקטע $\sin(x)>0$ . קל לראות גם שפונקצית הגבול היא $\lim_{n\to\infty}f_n(x)=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\sin(x)}=1$ , שרציפה. כמו כן ברור כי $f_n$ רציפות ובקטע מתקיים $\sqrt[n+1]{\sin(x)}\ge\sqrt[n]{\sin(x)}$ . לכן מתקיימים תנאי משפט דיני, ומכאן שההתכנסות במ"ש. $\blacksquare$
$(0,\pi)$
פתרון

נשים לב שנתון קטע פתוח, לכן לא ניתן להשתמש בתנאי דיני. ברור לנו שפונקצית הגבול $f(x)=1$ ומכיוון ש- $\sup_{x\in(0,\pi)}\left|1-\sqrt[n]{\sin(x)}\right|=1\ne0$ ההתכנסות אינה במ"ש. $\blacksquare$

דוגמה 2

קבעו אם הטור $\sum_{n=1}^\infty x^{2n}$ מתכנס ב- $\left[-\tfrac34,\tfrac34\right]$ .

פתרון

נשתמש בנוסחאת הסכום לטור הנדסי: $\sum_{n=1}^\infty x^{2n}=\sum_{n=1}^\infty \left(x^2\right)^n=\frac{x^2}{1-x^2}$ . לכן יש התכנסות לפונקציה רציפה בקטע. ברור שאיברי הטור פונקציות רציפות ואי שליליות (ולכן מתקיימת מונוטוניות). לפי משפט דיני ההתכנסות במ"ש. $\blacksquare$

דוגמה 3

הוכח או הפרך: אם $f_n:[a,b]\to[c,d]$ סדרת פונקציות המתכנסת במ"ש לפונקצית הגבול f וכן $g:[c,d]\to\mathbb R$ פונקציה רציפה אז $g\circ f_n$ היא סדרת פונקציות המתכנסות במ"ש לפונקצית הגבול $g\circ f$ .

פתרון

נשים לב כי g רציפה בקטע סגור ולכן רציפה במ"ש. כלומר לכל $\varepsilon>0$ יש $\delta>0$ כך שאם $|y_1-y_2|<\delta$ אז $|g(y_1)-g(y_2)|<\varepsilon$ . בנוסף נתון ש- $f_n$ מתכנסת במ"ש ולכן יש N כך שלכל $n>N$ מתקיים $|f_n(x)-f(x)|<\delta$ (בפרט אפשר לבחור $\varepsilon=\delta$ ). נשים לב ש- $g\circ f_n$ מוגדרת היטב לכל $a\le x\le b$ ועבור $n>N$ מתקיים $|g(f_n(x))-g(f(x))|<\varepsilon$ . מכאן ש- $g\circ f_n\to g\circ f$ במ"ש. $\blacksquare$

מבחן ה-M של ווירשטראס

יהי $\sum f_n(x)$ טור פונקציות בקטע I. אם קיים טור מתכנס של מספרים חיוביים $\sum a_n$ כך שלכל n גדול מספיק ולכל $x\in I$ מתקיים $|f_n(x)|\le a_n$ אז $\sum f_n(x)$ מתכנס במ"ש ב-I.

דוגמה 4

הוכח כי $\sum_{n=1}^\infty x^n(1-x)^n$ מתכנס במ"ש ב- $[0,1]$ .

פתרון

נרשום את הטור כ- $\sum_{n=1}^\infty (x(1-x))^n$ נסמן $f(x)=x(1-x)$ ונחסום אותה: $f(x)=x-x^2\implies f'(x)=1-2x$ ולכן $f'(x)=0\iff x=\frac12$ , שהיא מקסימום כי $f''(1/2)=-2<0$ . נותר לבדוק את קצוות הקטע: $f(0)=f(1)=0$ . נסיק ש- $x=\frac12$ היא נקודת קיצון גלובלית וכן- $f(1/2)=\frac14\implies f_n(x)=(x(1-x))^n\le\left(\frac14\right)^n$ . $\sum_{n=1}^\infty\frac1{4^n}$ מתכנס (זהו טור הנדסי) ולכן, לפי מבחן ה-M של וירשטרס, הטור $\sum_{n=1}^\infty x^n(1-x)^n$ מתכנס במ"ש. $\blacksquare$

אינטגרציה איבר-איבר בסדרות

תהי $f_n$ סדרת פונקציות רציפות המתכנסות במ"ש לפונקציות f בקטע I. אזי f אינטגרבילית בקטע ומתקיים $\lim_{n\to\infty}\int\limits_a^b f_n=\int\limits_a^b\lim_{n\to\infty}f_n=\int\limits_a^b f$ .

דוגמה 5

קבע האם $\lim_{n\to\infty}\int\limits_0^1 f_n$ מתכנס כאשר $f_n(x)=nxe^{-nx^2}$ ב- $[0,1]$ , והאם $f_n\to f$ במ"ש.

פתרון

נציב $y=x^2$ ואז $\int\limits_0^1 f_n=\frac n2\int\limits_0^1e^{-ny}\mathrm dy=\frac n2\left[\frac{e^{-ny}}{-n}\right]_{y=0}^1=-\frac12e^{-n}+\frac12\to\frac12$ , כלומר $\lim_{n\to\infty}\int\limits_0^1 f_n$ אכן מתכנס. נותר לבדוק אם $\{f_n\}$ מתכנסת במ"ש: דרך 1: $f(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{nx}{e^{nx^2}}=0$ (השיוויון האחרון לפי לופיטל). נניח בשלילה שההתכנסות במ"ש, אבל $\lim_{n\to\infty}\int\limits_0^1 nxe^{-nx^2}\mathrm dx=\frac12\ne 0=\int\limits_0^1 f$ ולכן קיבלנו סתירה. לפיכך ההתכנסות אינה במ"ש. $\blacksquare$

דרך 2: הראנו כבר כי פונקצית הגבול היא 0. נחפש מקסימום ל- $f_n(x)$ : $0=f_n'(x)=-2n^2x^2e^{-nx^2}+ne^{-nx^2}=ne^{-nx^2}(-2x^2n+1)$ ונקבל $x=\frac1\sqrt{2n}$ . לכן $\sup\left|f_n(x)-f(x)\right|=\frac n\sqrt{2n}e^{-\frac n{2n}}-0=\sqrt\frac n2e^{-\frac 1{2}}\to\infty\ne0$ ומכאן שההתכנסות אינה במ"ש. $\blacksquare$

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
 =התכנסות במ"ש {{הערה|(המשך)}}=
 ==משפט דיני==
-אם <math>f_n</math> סדרת פונקציות רציפה המוגדרת בקטע <math>[a,b]</math> ומתכנסת נקודתית בקטע זה לפונקציה רציפה f. בנוסף <math>f_n</math> סדרה עולה לכל <math>x\in[a,b]</math>. אזי <math>f_n</math> מתכנסת במ"ש ב-<math>[a,b]</math>.
+<math>f_n</math> סדרת פונקציות רציפה המוגדרת בקטע <math>[a,b]</math> ומתכנסת נקודתית בקטע זה לפונקציה רציפה f. בנוסף <math>\{f_n(x)\}</math> סדרה עולה לכל <math>x\in[a,b]</math>. אזי <math>f_n</math> מתכנסת במ"ש ב-<math>[a,b]</math>.
 ===דוגמה 1===
 בדוק הכנסות עבור הסדרה <math>f_n(x)=\sqrt[n]{\sin(x)}</math> בקטע
-# <math>\left[\frac\pi4,\frac34\pi\right]</math>
+<ol><li><math>\left[\tfrac\pi4,\tfrac34\pi\right]</math>
 ====פתרון====
-נישם לב שעבור x בקטע <math>\sin(x)>0</math>. קל לראות גם שפונקצית הגבול <math>\lim_{n\to\infty}f_n(x)=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\sin(x)}=1</math>. ברור כי <math>f_n</math> רציפות ובקטע מתקיים <math>\sqrt[n+1]{\sin(x)}\ge\sqrt[n]{\sin(x)}</math>. ברור כי פונקציה הגבול רציפה ולכן מתקיימים תנאי משפט דיני, מכאן שההתכנסות במ"ש. {{משל}}
+נשים לב שעבור x בקטע <math>\sin(x)>0</math>. קל לראות גם שפונקצית הגבול היא <math>\lim_{n\to\infty}f_n(x)=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\sin(x)}=1</math>, שרציפה. כמו כן ברור כי <math>f_n</math> רציפות ובקטע מתקיים <math>\sqrt[n+1]{\sin(x)}\ge\sqrt[n]{\sin(x)}</math>. לכן מתקיימים תנאי משפט דיני, ומכאן שההתכנסות במ"ש. {{משל}}</li>
-# <math>(0,\pi)</math>
+<li><math>(0,\pi)</math>
 ====פתרון====
-נשים לב שנתון קטע פתוח, לכן לא ניתן להשתמש בתנאי דיני. ברור לנו שפונקצית הגבול <math>f(x)=1</math> ומכיוון ש-<math>\sup_{x\in(0,\pi)}\left|1-\sqrt[n]{\sin(x)}\right|=1\ne0</math>. {{משל}}
+נשים לב שנתון קטע פתוח, לכן לא ניתן להשתמש בתנאי דיני. ברור לנו שפונקצית הגבול <math>f(x)=1</math> ומכיוון ש-<math>\sup_{x\in(0,\pi)}\left|1-\sqrt[n]{\sin(x)}\right|=1\ne0</math> ההתכנסות אינה במ"ש. {{משל}}
+</li></ol>
 ==דוגמה 2==
-קבעו אם הטור <math>\sum_{n=1}^\infty x^{2n}</math> מתכנס ב-<math>\left[-\frac34,\frac34\right]</math>.
+קבעו אם הטור <math>\sum_{n=1}^\infty x^{2n}</math> מתכנס ב-<math>\left[-\tfrac34,\tfrac34\right]</math>.
 ===פתרון===
-נשתמש בטור הנדסי, נרשום <math>\sum_{n=1}^\infty x^{2n}=\sum_{n=1}^\infty \left(x^2\right)^n=\frac{x^2}{1-x^2}</math> ולכן יש התכנסות לפונקציה רציפה בקטע. ברור שאיברי הטור פונקציות רציפות ואי שליליות (ולכן מתקיימת מונוטוניות). מסקנה: לפי משפט דיני ההתכנסות במ"ש. {{משל}}
+נשתמש בנוסחאת הסכום לטור הנדסי: <math>\sum_{n=1}^\infty x^{2n}=\sum_{n=1}^\infty \left(x^2\right)^n=\frac{x^2}{1-x^2}</math>. לכן יש התכנסות לפונקציה רציפה בקטע. ברור שאיברי הטור פונקציות רציפות ואי שליליות (ולכן מתקיימת מונוטוניות). לפי משפט דיני ההתכנסות במ"ש. {{משל}}
-==דוגמה 3 משיעור קודם==
+==דוגמה 3==
 הוכח או הפרך: אם <math>f_n:[a,b]\to[c,d]</math> סדרת פונקציות המתכנסת במ"ש לפונקצית הגבול f וכן <math>g:[c,d]\to\mathbb R</math> פונקציה רציפה אז <math>g\circ f_n</math> היא סדרת פונקציות המתכנסות במ"ש לפונקצית הגבול <math>g\circ f</math>.
 ===פתרון===
-נשים לב כי g רציפה בקטע סגור ולכן רציפה במ"ש. כלומר לכל <math>\varepsilon>0</math> יש <math>\delta>0</math> כך שאם <math>|y_1-y_2|<\delta</math> אז <math>|g(y_1)-g(y_2)|<\varepsilon</math>. בנוסף נתון ש-<math>f_n</math> מתכנסת במ"ש ולכן יש N כך שלכל <math>n>N</math> מתקיים <math>|f_n(x)-f(x)|<\delta</math> (בפרט אפשר לבחור <math>\varepsilon=\delta</math>.
+נשים לב כי g רציפה בקטע סגור ולכן רציפה במ"ש. כלומר לכל <math>\varepsilon>0</math> יש <math>\delta>0</math> כך שאם <math>|y_1-y_2|<\delta</math> אז <math>|g(y_1)-g(y_2)|<\varepsilon</math>. בנוסף נתון ש-<math>f_n</math> מתכנסת במ"ש ולכן יש N כך שלכל <math>n>N</math> מתקיים <math>|f_n(x)-f(x)|<\delta</math> (בפרט אפשר לבחור <math>\varepsilon=\delta</math>).
-נשים לב ש-<math>g\circ f_n</math> מוגדרת היטב ושם לכל <math>a\le x\le b</math> ובפרט עבור <math>n>N</math> מתקיים <math>|g(f_n(x))-g(f(x))|<\varepsilon</math>.
+נשים לב ש-<math>g\circ f_n</math> מוגדרת היטב לכל <math>a\le x\le b</math> ועבור <math>n>N</math> מתקיים <math>|g(f_n(x))-g(f(x))|<\varepsilon</math>. מכאן ש-<math>g\circ f_n\to g\circ f</math> במ"ש. {{משל}}
 ==מבחן ה-M של ווירשטראס==
@@ שורה 25: / שורה 26: @@
 ==דוגמה 4==
 הוכח כי <math>\sum_{n=1}^\infty x^n(1-x)^n</math> מתכנס במ"ש ב-<math>[0,1]</math>.
 ===פתרון===
-נרשום את הטור כ-<math>\sum_{n=1}^\infty (x(1-x))^n</math> נסמן <math>f(x)=x(1-x)</math> ונחסום אותה: <math>f(x)=x-x^2\implies f'(x)=1-2x</math> ו-<math>f'(x)=0\iff x=\frac12</math>, שהיא מקסימום כי <math>f''(1/2)=1-2=-1<0</math>. נותר לבדוק את קצוות הקטע: <math>x\in[0,1]\implies0\le x(1-x)\le\frac14\implies f_n(x)=(x(1-x))^n\le\left(\frac14\right)^n</math>. לפי מבחן ה-M של ווירשטרס <math>\sum_{n=1}^\infty\frac1{4^n}</math> מתכנס (כי זהו טור הנדסי) ולכן מקבילים כי הטור <math>\sum_{n=1}^\infty x^n(1-x)^n</math> מתכנס במ"ש.
+נרשום את הטור כ-<math>\sum_{n=1}^\infty (x(1-x))^n</math> נסמן <math>f(x)=x(1-x)</math> ונחסום אותה: <math>f(x)=x-x^2\implies f'(x)=1-2x</math> ולכן <math>f'(x)=0\iff x=\frac12</math>, שהיא מקסימום כי <math>f''(1/2)=-2<0</math>. נותר לבדוק את קצוות הקטע: <math>f(0)=f(1)=0</math>. נסיק ש-<math>x=\frac12</math> היא נקודת קיצון גלובלית וכן-<math>f(1/2)=\frac14\implies f_n(x)=(x(1-x))^n\le\left(\frac14\right)^n</math>. <math>\sum_{n=1}^\infty\frac1{4^n}</math> מתכנס (זהו טור הנדסי) ולכן, לפי מבחן ה-M של וירשטרס, הטור <math>\sum_{n=1}^\infty x^n(1-x)^n</math> מתכנס במ"ש. {{משל}}
-===אינטגרציה איבר-איבר בסדרות===
-אם <math>f_n</math> סדרת פונקציות רציפות המתכנסות במ"ש. לפונקציות f בקטע I אז f אינטגרבילית בקטע ומתקיים <math>\lim_{n\to\infty}\int\limits_a^b f_n=\int\limits_a^b\lim_{n\to\infty}f_n=\int\limits_a^b f</math>
+==אינטגרציה איבר-איבר בסדרות==
+תהי <math>f_n</math> סדרת פונקציות רציפות המתכנסות במ"ש לפונקציות f בקטע I. אזי f אינטגרבילית בקטע ומתקיים <math>\lim_{n\to\infty}\int\limits_a^b f_n=\int\limits_a^b\lim_{n\to\infty}f_n=\int\limits_a^b f</math>.
 ===דוגמה 5===
-קבע האם <math>\lim_{n\to\infty}\int\limits_0^1 f_n</math> מתכנס כאשר <math>0\le x\le1</math> ו-<math>f_n(x)=nxe^{-nx^2}</math>. נציב <math>y=x^2</math> ואז <math>\int\limits_0^1 f_n=\frac12\int\limits_0^1ne^{-ny}\mathrm dy=\frac12\left[\frac{ne^{-ny}}{-n}\right]_{y=0}^1=-\frac12e^{-n}+\frac12\to\frac12</math> עבור צד ימין <math>f(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{nx}{e^{nx2}}=0</math> (השיוויון האחרון לפי לופיטל) ולכן ברור כי <math>\lim_{n\to\infty}\int\limits_0^1 n<math>xe^{-nx^2}\mathrm dx</math></math> ז"א אכן לא מתקיים שיוויון.
+קבע האם <math>\lim_{n\to\infty}\int\limits_0^1 f_n</math> מתכנס כאשר <math>f_n(x)=nxe^{-nx^2}</math> ב-<math>[0,1]</math>, והאם <math>f_n\to f</math> במ"ש.
+====פתרון====
+נציב <math>y=x^2</math> ואז <math>\int\limits_0^1 f_n=\frac n2\int\limits_0^1e^{-ny}\mathrm dy=\frac n2\left[\frac{e^{-ny}}{-n}\right]_{y=0}^1=-\frac12e^{-n}+\frac12\to\frac12</math>, כלומר <math>\lim_{n\to\infty}\int\limits_0^1 f_n</math> אכן מתכנס. נותר לבדוק אם <math>\{f_n\}</math> מתכנסת במ"ש:
+''דרך 1:'' <math>f(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{nx}{e^{nx^2}}=0</math> (השיוויון האחרון לפי לופיטל). נניח בשלילה שההתכנסות במ"ש, אבל <math>\lim_{n\to\infty}\int\limits_0^1 nxe^{-nx^2}\mathrm dx=\frac12\ne 0=\int\limits_0^1 f</math> ולכן קיבלנו סתירה. לפיכך ההתכנסות אינה במ"ש. {{משל}}
-נראה ש-<math>f_n</math> לא מתכנסת במ"ש.
+''דרך 2:'' הראנו כבר כי פונקצית הגבול היא 0. נחפש מקסימום ל-<math>f_n(x)</math>: <math>0=f_n'(x)=-2n^2x^2e^{-nx^2}+ne^{-nx^2}=ne^{-nx^2}(-2x^2n+1)</math> ונקבל <math>x=\frac1\sqrt{2n}</math>. לכן <math>\sup\left|f_n(x)-f(x)\right|=\frac n\sqrt{2n}e^{-\frac n{2n}}-0=\sqrt\frac n2e^{-\frac 1{2}}\to\infty\ne0</math> ומכאן שההתכנסות אינה במ"ש. {{משל}}
-====פתרון===
-ברור כי פונקצית הגבול היא 0. נשתש במבחן ה-M (כי כל גישה אחרת דורשת חלוקה לקטעים). נחפש מקסימום ל-<math>f_n(x)</math>: <math>f_n'(x)=-2n^2x^2e^{-n^2x^2}+ne^{-nx^2}=ne^{-n^2x^2}(-2x^2n+1)=0</math> ונקבל <math>x=\frac1\sqrt{2n}</math>. מתקיים <math>\sup|\frac n\sqrt{2n}e^{-\frac n{4n}}-0|\not\to0</math>.

הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - תרגול/22.5.11"

גרסה מ־14:14, 28 ביוני 2011

תוכן עניינים

התכנסות במ"ש (המשך)

משפט דיני

דוגמה 1

פתרון

פתרון

דוגמה 2

פתרון

דוגמה 3

פתרון

מבחן ה-M של ווירשטראס

דוגמה 4

פתרון

אינטגרציה איבר-איבר בסדרות

דוגמה 5

פתרון

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים