שינויים

אם <math>f_n</math> סדרת פונקציות רציפה המוגדרת בקטע <math>[a,b]</math> ומתכנסת נקודתית בקטע זה לפונקציה רציפה f. בנוסף <math>\{f_n(x)\}</math> סדרה עולה לכל <math>x\in[a,b]</math>. אזי <math>f_n</math> מתכנסת במ"ש ב-<math>[a,b]</math>.

# <ol><li><math>\left[\fractfrac\pi4,\frac34tfrac34\pi\right]</math>

נישם נשים לב שעבור x בקטע <math>\sin(x)>0</math>. קל לראות גם שפונקצית הגבול היא <math>\lim_{n\to\infty}f_n(x)=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\sin(x)}=1</math>, שרציפה. כמו כן ברור כי <math>f_n</math> רציפות ובקטע מתקיים <math>\sqrt[n+1]{\sin(x)}\ge\sqrt[n]{\sin(x)}</math>. ברור כי פונקציה הגבול רציפה ולכן לכן מתקיימים תנאי משפט דיני, מכאן ומכאן שההתכנסות במ"ש. {{משל}}</li># <li><math>(0,\pi)</math>

נשים לב שנתון קטע פתוח, לכן לא ניתן להשתמש בתנאי דיני. ברור לנו שפונקצית הגבול <math>f(x)=1</math> ומכיוון ש-<math>\sup_{x\in(0,\pi)}\left|1-\sqrt[n]{\sin(x)}\right|=1\ne0</math>ההתכנסות אינה במ"ש. {{משל}}</li></ol>

קבעו אם הטור <math>\sum_{n=1}^\infty x^{2n}</math> מתכנס ב-<math>\left[-\frac34tfrac34,\frac34tfrac34\right]</math>.

נשתמש בטור בנוסחאת הסכום לטור הנדסי, נרשום : <math>\sum_{n=1}^\infty x^{2n}=\sum_{n=1}^\infty \left(x^2\right)^n=\frac{x^2}{1-x^2}</math> ולכן . לכן יש התכנסות לפונקציה רציפה בקטע. ברור שאיברי הטור פונקציות רציפות ואי שליליות (ולכן מתקיימת מונוטוניות). מסקנה: לפי משפט דיני ההתכנסות במ"ש. {{משל}}==דוגמה 3 משיעור קודם==

נשים לב כי g רציפה בקטע סגור ולכן רציפה במ"ש. כלומר לכל <math>\varepsilon>0</math> יש <math>\delta>0</math> כך שאם <math>|y_1-y_2|<\delta</math> אז <math>|g(y_1)-g(y_2)|<\varepsilon</math>. בנוסף נתון ש-<math>f_n</math> מתכנסת במ"ש ולכן יש N כך שלכל <math>n>N</math> מתקיים <math>|f_n(x)-f(x)|<\delta</math> (בפרט אפשר לבחור <math>\varepsilon=\delta</math>).נשים לב ש-<math>g\circ f_n</math> מוגדרת היטב ושם לכל <math>a\le x\le b</math> ובפרט עבור ועבור <math>n>N</math> מתקיים <math>|g(f_n(x))-g(f(x))|<\varepsilon</math>.מכאן ש-<math>g\circ f_n\to g\circ f</math> במ"ש. {{משל}}

נרשום את הטור כ-<math>\sum_{n=1}^\infty (x(1-x))^n</math> נסמן <math>f(x)=x(1-x)</math> ונחסום אותה: <math>f(x)=x-x^2\implies f'(x)=1-2x</math> ו-ולכן <math>f'(x)=0\iff x=\frac12</math>, שהיא מקסימום כי <math>f''(1/2)=1-2=-1<0</math>. נותר לבדוק את קצוות הקטע: <math>x\in[f(0,1]\implies0\le x)=f(1)=0</math>. נסיק ש-<math>x)=\lefrac12</math> היא נקודת קיצון גלובלית וכן-<math>f(1/2)=\frac14\implies f_n(x)=(x(1-x))^n\le\left(\frac14\right)^n</math>. לפי מבחן ה-M של ווירשטרס <math>\sum_{n=1}^\infty\frac1{4^n}</math> מתכנס (כי זהו טור הנדסי) ולכן מקבילים כי , לפי מבחן ה-M של וירשטרס, הטור <math>\sum_{n=1}^\infty x^n(1-x)^n</math> מתכנס במ"ש.{{משל}} ===אינטגרציה איבר-איבר בסדרות===אם תהי <math>f_n</math> סדרת פונקציות רציפות המתכנסות במ"ש. לפונקציות f בקטע I אז . אזי f אינטגרבילית בקטע ומתקיים <math>\lim_{n\to\infty}\int\limits_a^b f_n=\int\limits_a^b\lim_{n\to\infty}f_n=\int\limits_a^b f</math>.

קבע האם <math>\lim_{n\to\infty}\int\limits_0^1 f_n</math> מתכנס כאשר <math>0\le x\le1</math> ו-<math>f_n(x)=nxe^{-nx^2}</math>. נציב ב-<math>y=x^2</math> ואז <math>\int\limits_0^1 f_n=\frac12\int\limits_0^1ne^{-ny}\mathrm dy=\frac12\left[\frac{ne^{-ny}}{-n}\right]_{y=0}^,1=-\frac12e^{-n}+\frac12\to\frac12]</math> עבור צד ימין , והאם <math>f(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{nx}{e^{nx2}}=0</math> (השיוויון האחרון לפי לופיטל) ולכן ברור כי <math>\lim_{n\to\infty}\int\limits_0^1 n<math>xe^{-nx^2}\mathrm dx</math>f</math> זבמ"א אכן לא מתקיים שיוויוןש.

נראה ש-<math>f_n</math> לא מתכנסת במ"ש.====פתרון===ברור ''דרך 2:'' הראנו כבר כי פונקצית הגבול היא 0. נשתש במבחן ה-M (כי כל גישה אחרת דורשת חלוקה לקטעים). נחפש מקסימום ל-<math>f_n(x)</math>: <math>0=f_n'(x)=-2n^2x^2e^{-n^2xnx^2}+ne^{-nx^2}=ne^{-n^2xnx^2}(-2x^2n+1)=0</math> ונקבל <math>x=\frac1\sqrt{2n}</math>. מתקיים לכן <math>\sup\left|f_n(x)-f(x)\right|=\frac n\sqrt{2n}e^{-\frac n{4n2n}}-0|=\notsqrt\frac n2e^{-\frac 1{2}}\to\infty\to0ne0</math>ומכאן שההתכנסות אינה במ"ש.{{משל}}