שינויים

====פתרון====

נציב <math>y=x^2</math> ואז <math>\int\limits_0^1 f_n=\frac n2\int\limits_0^1e^{-ny}\mathrm dy=\frac n2\left[\frac{e^{-ny}}{-n}\right]_{y=0}^1=-\frac12e^{-n}+\frac12\to\frac12</math>, כלומר <math>\lim_{n\to\infty}\int\limits_0^1 f_n</math> אכן מתכנס. נותר לבדוק אם <math>\{f_n\}</math> מתכנסת במ"ש:

''דרך 1:'' <math>f(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{nx}{e^{nx^2}}=0</math> (השיוויון האחרון לפי לופיטל). נניח בשלילה שההתכנסות במ"ש, אבל <math>\lim_{n\to\infty}\int\limits_0^1 nxe^{-nx^2}\mathrm dx=\frac12\ne 0=\int\limits_0^1 f</math> ולכן קיבלנו סתירה. לפיכך ההתכנסות אינה במ"ש. {{משל}}

''דרך 2:'' הראנו כבר כי פונקצית הגבול היא 0. נחפש מקסימום ל-<math>f_n(x)</math>: <math>0=f_n'(x)=-2n^2x^2e^{-nx^2}+ne^{-nx^2}=ne^{-nx^2}(-2x^2n+1)</math> ונקבל <math>x=\frac1\sqrt{2n}</math>. לכן <math>\sup\left|f_n(x)-f(x)\right|=\frac n\sqrt{2n}e^{-\frac n{2n}}-0=\sqrt\frac n2e^{-\frac 1{2}}\to\infty\ne0</math> ומכאן שההתכנסות אינה במ"ש. {{משל}}