שינויים

===דוגמה דוגמא 1===

<li><math>\int\frac{\mathrm dx}{x\left(\sqrt {x}+\sqrt[5]{x^2}\right)}</math> 

נרשום את האינטגרל כ-<math>\displaystyle\int\frac{\mathrm dx}{x\left(\left(x^{1/10}\right)^5+\left(x^{1/10}\right)^4\right)}</math>. מתבקשת ההצבה <math>y=x^{1/10}\implies y^{10}=x\implies10y^9\mathrm dy=\mathrm dx</math> ולכן נקבל <math>\int=\int\frac{10y^9\mathrm dy}{y^{10}\left(y^5+y^4\right)}</math> ומכאן קל למצוא את הפתרון. {{משל}}</li><li><math>\int\frac{x^2+\sqrt{1+x}}\sqrt[3]{1+x}\mathrm dx</math> 

נגדיר <math>y=(1+x)^{1/6}\implies 6y^5\mathrm dy=\mathrm dx</math>. נקבל <math>\int=\int\frac{\left(y^6-1\right)^2+y^3}{y^2}6y^5\mathrm dy=\int\left(\left(y^6-1\right)^2+y^3\right)6y^3\mathrm dy=\dots</math>. {{משל}}</li>

כאשר יש פונקציה מהצורה <math>\sqrt{a^2-b^2x^2}</math>. ===דוגמה דוגמא 2===

<li><math>\int\frac{\mathrm dx}{x^2\sqrt{x^2+4}}</math> 

נעזר במשלש ישר זווית-זוית: גרף (1) <math>\sqrt{x^2+4}</math> חייב להיות אורך היתר. ההצבה המתבקשת היא <math>\tan(y)=\frac x2fracx2\iff x=2\tan(y)\implies\mathrm dx=\frac{2\mathrm dy2dy}{\cos^2(y)}</math>. נקבל {{left|<math>\begin{align}\int&=\int\frac{\frac{2\mathrm dy}{\cos^2(y)}}{4\tan^2(y)\sqrt{4\tan^2(y)+4}}\\&=\int\frac{\frac{2\mathrm dy2dy}{\cos^2(y)}}{8\frac{\sin^2(y)}{\cos^2(y)}\sec(y)}\\&=\frac14\int\frac{\cos(y)}{\sin^2(y)}\mathrm dy\end{align}</math>}}נציב <math>t=\sin(y)\implies\mathrm dt=\cos(y)\mathrm dt</math> אזי <math>\int=\frac14\int\frac{\mathrm dt}{t^2}=-\frac14\frac1t+c=\dots</math>. {{משל}}</li><li><math>\int\frac\sqrt{9-4x^2}x\mathrm dx</math> 

שוב נבנה משולש גרף 2. מתבקשת ההצבה <math>\sin(y)=\frac{2x}3\implies \mathrm dx=\frac32\cos(y)\mathrm dy</math> אזי {{left|<math>\begin{align}\int&=\int\frac{3\cos(y)}{\frac32\sin(y)}\cdot\frac32\cos(y)\mathrm dy\\&=3\int\frac{1-\sin^2(y)}{\sin(y)}\mathrm dy\\&=3\int\csc(y)\mathrm dy-3\int\sin(y)\mathrm dy\\&=\dots\end{align}</math>}}נותר לפתור <math>\int\csc(y)\mathrm dy=\int\frac{\sin(y)}{\sin^2(y)}\mathrm dyy=\int\frac{-\mathrm dt}{1-t^2}</math> עבור <math>t=\cos(y)</math>. מכאן נותר רק לפתור בשברים חלקיים. {{משל}}</li><li><math>\int\frac{\mathrm dx}{\left(4(x-3)^2-9\right)^\frac32}</math> 

ראשית נציב <math>y=x-3\implies \int=\int\frac{\mathrm dy}{\left(4y^3-9\right)^\frac32}</math>. נציב <math>\sin(z)=\frac3{2y}\implies y=\frac3{2\sin(z)}\ \and\ \tan(z)=\frac3\sqrt{(2y)^2-3^2}</math> נקבל: <math>\int=\int\frac{-\frac32\frac{\cos(z)}{\sin^2(z)}}{(3\cot(z))^3}\mathrm dz=-\frac1{18}\int\frac{\sin(z)}{\cos^2(z)}\mathrm dz</math> את האינטגרל הנ"ל קל לפתור ע"י הצבה <math>t=\cos(z)</math> ואז <math>\int=\frac1{18}\int\frac{\mathrm dt}{t^2}=\dots</math>. {{משל}}</li>