אינטגרציה (המשך)
עד כה דיברנו על אינטגרלים של פונקציות רציונליות (בפרט פולינומים), פונקציות טריגונומטריות וכו'.
עתה נדבר על פונקציות לא רציונליות.
דוגמה 1
חשב
- . ====פתרון==== נרשום את האינטגרל כ-. מתבקשת ההצבה ולכן נקבל ומכאן קל למצוא את הפתרון.
- ====פתרון==== נגדיר . נקבל
הצבות טריגונומטריות
כאשר יש פונקציה מהצורה .
דוגמה 2
- ====פתרון==== נעזר במשלש ישר זווית: גרף (1) חייב להיות אורך היתר. ההצבה המתבקשת היא . נקבל . נציב אזי
- ====פתרון==== שוב נבנה משולש גרף 2. מתבקשת ההצבה אזי . נותר לפתור עבור . מכאן נותר רק לפתור בשברים חלקיים.
- עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \int\frac{\mathrm dx}{\left(4(x-3)^2-9\right)^\frac32
====פתרון==== ראשית נציב עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): y=x-y\implies \int=\int\frac{\mathrm dy}{\left(y^3-9\right)^\frac32
. נציב נקבל: את האינטגרל הנ"ל קל לפתור ע"י הצבה ואז
הצבות מיוחדות
ההצבה האוניברסלית: תמיד ניתן להציב ולכן וגם .
דוגמה 3
פתור את האינטגרלים הבאים באמצעות ההצבה האוניברסלית:
- ====פתרון====
- =====פתרון==== נציב לפיכך . מסכנה: כאשר יש ביטוי מהצורה ננסה להציב .
אם יש ביטוי מהצורה כאשר הפולינום אי פריק נציב . אם הפולינום בשורש כן פריק ושורשיו נציב עיבוד הנוסחה נכשל (ההמרה ל־PNG נכשלה; אנא בדקו אם התקנתם נכון את latex ואת dvipng (או צירוף של dvips, gs ו־convert)): c+bx+X^2=(\beta-x)^2^2
או עיבוד הנוסחה נכשל (ההמרה ל־PNG נכשלה; אנא בדקו אם התקנתם נכון את latex ואת dvipng (או צירוף של dvips, gs ו־convert)): c+bx+X^2=(\alpha-x)^2^2
דוגמה 4
נחשב ====פתרון==== הפולינום שבשורש אי פריק, לכן נגדיר y עבורו ואז