שינויים

'''תזכורת:''' (אינטגרציה איבר איבר בסדרות) אם <math>f_n</math> סדרת פונקציות רציפות המתכנסות במ"ש לפונקציה f ב-<math>[a,b]</math>, אז f אינטגרבילית ומתקיים <math>\lim_{n\to\infty}\int\limits_a^b f_n=\int\limits_a^b f</math>. באופן דומה ננסח עבור גזירה איבר-איבר בסדרות: <math>f_n</math> סדרת פונקציות גזירות ורציפות ב-<math>[a,b]</math> המתכנסת בנקודה אחת לפחות <math>x_0\in[a,b]</math> ל-<math>f(x_0)</math>. אם <math>f_n'</math> סדרת פונקציות המתכנסות במ"ש ב-<math>[a,b]</math> אז <math>f</math> גזירה <math>\lim_{n\to\infty} f_n'(x)=f'(x)=\left(\lim_{n\to\infty}f_n(x)\right)'</math>. באופן דומה נגדיר עבור טורים. '''עבור אינטגרציה לדוגמה''': יהי <math>\sum_{n=1}^\infty f_n(x)</math> טור של פונקציות רציפות ב-<math>[a,b]</math> המתכנס במ"ש בקטע לפונקצית סכום <math>S(x)</math> אז טור המספרים מתכנס ומתקיים <math>\sum_{n=0}^\infty \int\limits_a^b f_n=\int\limits_a^b \sum_{n=0}^\infty=\int\limits_a^b S</math>.==דוגמה 1==# הוכח שלכל <math>t\in(0,1)</math> מתקיים <math>\ln(1+t)=\sum_{n=1}^\infty (-1)^n\frac{t^n}n</math>.# חשב <math>\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac1{2^nn}</math>. פתרון: נעזר בתרגיל בטור הנדסי, ידוע ש-<math>\ln(1+t)=\int\limits_0^t\frac{\mathrm dx}{1+x}</math>. בנוסף ידוע שמתקיים <math>\sum_{n=0}^\infty (-1)^nx^n=\frac1{1+x}</math> (לפי סדרה הנדסית). מספיק להראות שהטור הנ"ל מתכנס במ"ש בקטע סגור מהצורה <math>[-a,a]</math>. נשתמש במבחן ה-M של וירשטרס <math>|(-1)^nx^n|\le a^n</math> (עבור הקטע הסגור הנ"ל <math>[-a,a]</math>) אם <math>0<a<1</math> ברור ש-<math>\sum_{n=0}^\infty a^<math>formula</math></math> מתכנס ולכן לפי מבחן ה-M הטור המקורי מתכנס במ"ש.

באופן דומה נגדיר עבור טורים. עבור אינטגרציה, לדוגמה: יהי <math>t\insum_{n=1}^\infty f_n(-1,1x)</math>, נסתכל על הקטע מהצורה טור של פונקציות רציפות ב-<math>[0a,tb]</math> שם המתכנס במ"ש בקטע לפונקצית סכום <math>\lnS(1+t)=\int\limits_0^t\frac{\mathrm dx}{1-(-x)}=\int\limits_0^t \sum_{n=0}^\infty (-1)^nx^n \mathrm dx=\sum_{n=0}^\infty \int\limits_0^t (-1)^nx^n\mathrm dx</math> (הראנו שהטור , אזי טור המספרים מתכנס במ"ש לפי וירשטרס, נחליף בין האינטגרציה לסכימה). זה שווה ל-ומתקיים <math>\left[\sum_{n=01}^\infty(-1)^n\frac{x^{n+1}}{n+1}int\right]_{x=0}limits_a^tb f_n=\sum_{n=0}^int\infty \frac{(-1)limits_a^nt^{n+1}}{n+1}=b \sum_{n=1}^\inftyf_n=\frac{(-1)int\limits_a^{n+1}t^n}nb S</math> .

ב. ברור כי גזירה איבר איבר של טורי פונקציות: יהיו <math>t=\frac12f_n</math> נמצא בקטעפונציות גזירות רציפות ב-<math>[a, שם יש התכנסות (כי תחום ההתכנסות טור הנדסי) b]</math> כך שהטור <math>\sum_{n=1}^\infty\frac{f_n(x)</math> מתכנס ב-1<math>x_0\in[a,b]</math> ל-<math>S(x_0)^</math>. אם טור הנגזרות <math>\sum_{n+=1}^\leftinfty f_n'(\frac12\rightx)^n}n=</math> מתכנס במידה שווה בקטע אז מתקיים <math>\sum_{n=1}^\infty\frac{f_n'(-1x)^=S'(x)=\left(\sum_{n+=1}}{2^nn}=-\ln\leftinfty f_n(1+\frac12x)\right)'</math> .

גזירה איבר איבר של טורי פונקציות: יהיו ==דוגמה 1==<mathol>f_n</mathli> פונציות גזירות רציפות ב-<math>[a,b]</math> כך שהטור הוכיחו שלכל <math>t\sum_{n=in(0}^\infty f_n(x,1)</math> מתכנס ב-מתקיים <math>x_0\in[a,b]</math> ל-<math>Sln(x_01+t)</math> אם טור הנגזרות <math>=\sum_{n=01}^\infty f_n'(x-1)</math> מתכנס במידה שווה בקטע אז מתקיים <math>\sum_^{n=0+1}^\infty f_n'(x)=S'(x)=\left(\sum_frac{t^n=0}^\infty f_n(x)\right)'n</math>.

נתייחס לטור הבא ידוע ש-<math>\ln(1+t)=\int\limits_0^t\frac{\mathrm dx}{1+x}</math> וש-<math>\frac1{1+x}=\sum_{n=0}^\infty(-1)^nx^n</math> (לפי נוסחת סכום סדרה הנדסית). מספיק להראות שהטור הנ"ל מתכנס במ"ש בקטע <math>[0,a]</math> ואז נוכל לעשות אינטגרציה איבר-איבר. נשתמש במבחן ה-M של ויירשראס: <math>|(-1)^nx^n|\frac1{xle a^n}</math> שידוע שמתכנס עבור לכל <math>x\in[0,a]</math>. אם <math>0<a<1</math>אזי <math>\sum_{n=0}^\infty a^n</math> מתכנס ולכן <math>\sum_{n=0}^\infty (-1)^nx^n</math> מתכנס במ"ש.

יש להראות כי הטור עתה יהי <math>t\in(0,1)</math> ונסתכל על הקטע מהצורה <math>[0,t]</math>, שם הראנו שהטור הנ"ל מתכנס במ"ש. ברור שע"י הצבה ולכן {{left|<math>\begin{align}\ln(1+t)&=\frac1xint\limits_0^t\frac{\mathrm dx}{1+x}\\&=\int\limits_0^t \sum_{n=0}^\infty (-1)^nx^n \mathrm dx\\&=\sum_{n=0}^\infty \int\limits_0^t (-1)^nx^n\mathrm dx\\&=\sum_{n=0}^\infty\left[(-1)^n\frac{x^{n+1}}{n+1}\right]_{x=0}^t\\&=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nt^{n+1}}{n+1}\\&=\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n+1}\frac{t^n}n\end{align}</math> באופן דומה לתרגיל נקבל התכנסות במ"ש.}}{{משל}}

</li><li> חשבו <math>S_n(x)=\sum_{n=01}^\infty \frac n{(-1)^n+1}\frac1{x2^nnn}</math>.

הראנו בשאלת הכנה ===פתרון===נעזר בסעיף 1. ברור כי הטור מתכנס במ"ש<math>t=\frac12</math> נמצא בקטע <math>(0, נשאר לעשות אינטגרציה 1)</math>, ולכן נציב: <math>\int\sum_{n=01}^\infty x^\frac{(-1)^n}\mathrm dx{2^nn}=-\sum_{n=01}^\infty \int x(-1)^{-n+1}\mathrm dx=\sum_frac{n=0}^\inftyleft(\frac{xfrac12\right)^{-n+1}}{-n+1}=-\frac1{ln\left(1-1/x}\tfrac12\right)</math>. עד כאן {{משל}} </li></ol> ==דוגמה 2==חשבו את סכום הטור <math>\sum_{n=01}^\infty \frac{x^{-n+1}}{-(n+1}=\frac1{1-1/)x}=\frac x{x-1^n}</math>. צריך להגיע לטור המבוקש. ברור כי עבור <math>\int\frac x{x->1}\mathrm dx=\int\frac{x-1+1}{x-1}\mathrm dx=\int\left(1+\frac1{x-1}\right)\mathrm dx=x+\ln|x-1|+c</math>. נשאר לחלק ב-x ואז לגזור.

נשים לב שאם נגדיר כי <math>f_n'(x)=\leftfrac n{(\frac1{x^n}\right+1)'=(x^{-n})'=-n\cdot frac1{x^{-n}-1}=\frac{-n}{x^frac1{(n+2}}</math> ז"א <math>f_n(x1)=\frac1{x^n}</math>. אם , ולפיכך מספיק לחשב את <math>\sum_{n=1}^\infty f_n=\frac1{x^n}-\sum_{n=1}^\infty \frac1{(n+1)x^n}=\frac{1/x}{1-1/x}=\frac1{1-x}</math>. נבדוק את התנאים למשפט "גזירה איבר-איבר של טור פונקציות". דרוש ש-<math>\sum f_n'(x)</math> יתכנס במ"ש.

נעזר במבחן הראשית נוכיח שהטור <math>\sum_{n=1}^\infty x^n</math> מתכנס במ"ש ב-M של וירשטרס<math>(0,1)</math>. אם יהי <math>0<x_0<1</math> ולכן <math>\left|x^n\right|\le x_0^n</math>לכל <math>x\in[0,x_0]</math>. כמו כן <math>\sum_{n=1}^\infty x_0^n</math> אז יש מתכנס כי <math>0<x_0<1<a/math> והטור הנדסי, לכן, ממבחן ה-M של ויירשראס, הטור <math>\sum_{n=1}^\infty x^n=\frac1{1-x}</math> שם מתקיים מתכנס במ"ש ב-<math>[0,x_0]</math>. עתה נוכל לעשות אינטגרציה איבר-איבר: <math>\left|int\limits_0^x\frac{-n\mathrm dt}{1-t}=\int\limits_0^x\sum_{n=1}^\infty t^n\mathrm dt=\sum_{n+=1}}^\right|infty\leint\left|limits_0^x t^n\frac mathrm dt=\sum_{n=1}^\infty\frac{ax^{n+1}}{n+1}</math>. הטור כמו כן, ברור כי <math>\int\limits_0^x\frac{\mathrm dt}{1-t}=[-\ln|1-t|]_{t=0}^x=-\ln(1-x)</math>, ולכן <math>\sum_{n=1}^\infty \frac n{ax^n}{n+1}}=-\frac1x\ln(1-x)</math> טור מתכנס עפ"י מבחן דלאמר או מבחן השורש).

נסיק לפי מבחן ה-M של וירשטרס שהטור עתה, אם <math>\sum_{n=x>1}^</math> אזי <math>\inftyfrac1x\frac{-n}{x^{n+in(0,1}})</math> מתכנס במ"ש ולכן אפשר להחליף סדר גזירה. ולבסוף {{left|<math>\left(begin{align}\sum_{n=1}^\infty \frac1frac n{(n+1)x^n}\right)'&=\sum_{n=1}^\infty \left(\frac1{x^n}\right)'=-\sum_{n=1}^\infty \fracfrac1{-(n}{+1)x^{n+1}}\\&=\frac1{1-\tfrac1x}-\left(-\frac1{x-1/x}\ln\left(1-\frac1x\right)'\right)\\&=\fracx{x-1}{(+x-1)^2}</math> לסיכום <math>\sum_{n=1}^ln\infty left(\frac{-n}{x^{n+1}}=\frac{-1}{(x-1\right)^2\end{align}</math>.}} {{משל}}

מצא תחום התכנסות של מהו סכום הטור <math>\sum_{n=1}^\infty\fracn{x^n}\sqrt[3]n</math>עבור <math>x<1</math>? 

אכן מדובר על חזקות כי נשים לב שאם נגדיר<math>f_n(x)=\sumfrac1{x^n}</math> אזי <math>f_n'(x)=(x^{-n})'=-n\cdot x^{-n-1}=\frac{-n}{x^{n+1}}</math>. כמו כן <math>\sum_{n=1}^\infty f_n(x)=\frac1sum_{n=1}^\sqrt[3]nxinfty \frac1{x^n}=\frac{1/x}{1-1/x}=\frac1{x-1}</math>. נבדוק את התנאים לגזירה איבר-איבר. דרוש ש-<math>\sum f_n'(x)</math> יתכנס במ"ש. נעזר במבחן ה-M של ויירשראס. אם <math>x>1</math> אז יש <math>1<a<x</math> ולכן <math>a_n=\frac1left|\sqrt[3]frac{-n}{x^{n+1}}\right|\le\frac n{a^{n+1}}</math> ואז רדיוס ההתכנסות הוא . הטור <math>R=\frac1{\limsup_sum_{n\to=1}^\infty\frac n{a^{n+1}}</math> טור מתכנס עפ"י מבחן המנה של ד'לאמר (או מבחן השורש של קושי). נסיק שהטור <math>\sqrt[sum_{n]=1}^\frac1infty\sqrt[3]frac{-n}={x^{n+1}}</math>. זמתכנס במ"א ש ולכן <math>|\left(\sum_{n=1}^\infty \frac1{x|<^n}\right)'=\sum_{n=1}^\infty \left(\frac1{x^n}\right)'=\sum_{n=1}^\infty \frac{-n}{x^{n+1}}</math> נשאר לבדוק האם יש התכנסות בקצוות וגם <math>\pm1left(\sum_{n=1}^\infty \frac1{x^n}\right)'=\left(\frac1{x-1}\right)'=\frac{-1}{(x-1)^2}</math>. עבור לסיכום <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{-n}{x^{n+1}}=\frac{-1}{(x-1)^2}</math>: , ולפיכך <math>\sum_{n=1}^\infty \fracn{1x^n}=\sqrt[3]nfrac x{(x-1)^2}</math> שמתבדר כי . {{משל}} =טורי חזקות=רדיוס ההתכנסות של טור חזקות <math>\sum>\sum_{n=1}^\inftya_nx^n</math> הוא <math>R=\frac1nfrac1{\displaystyle\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}</math> ולכן לפי מבחן ההשוואה מתבדר, והוא מתכנס בהחלט ב-<math>(x_0-R,x_0+R)</math>. לגבי התכנסות בקצוות הקטע, יש לבדוק בנפרד.

חשבו מצאו את תחום התכנסות של הטור <math>\sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}\sqrt[3]n</math>. ===פתרון===אכן מדובר על טור חזקות כי כאשר המקדם הכללי הוא <math>a_n=\frac1\sqrt[3]n</math>. לכן רדיוס ההתכנסות הוא <math>R=\frac1{\displaystyle\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]\tfrac1\sqrt[3]n}=\left(1/\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]n\right)^{-3}=1</math>. ז"א כאשר <math>|x|<1</math> הטור מתכנס. נשאר לבדוק האם יש התכנסות בקצוות <math>x=\pm1</math>. עבור <math>x=1</math> הטור הוא <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1^n}\sqrt[3]n</math>, שמתבדר כי הוא גדול מ-<math>\sum_{n=1}^\infty\frac1n=\infty</math>. עבור <math>x=-1</math> ברור שהטור מתכנס, לפי משפט לייבניץ. לסיכום, תחום ההתכנסות הוא <math>[-1,1)</math>. {{משל}} ==דוגמה 5==מצאו את תחום ההתכנסות של <math>\sum_{n=0}^\infty n!x^{n!}</math>.  ===פתרון===נשים לב כי הטור הנתון לא אינו טור חזקות. , ולכן "נתקן" את הטור לטור חזקות. נסתכל קודם על המקוראותו. נסמן נגדיר <math>a_n=n!</math> ונגדיר <math>b_k=\begin{cases}n!&\exists k=:\ n=k!\\0&\text{else}\end{cases}</math>. ברגע זה נקבל את הטור <math>\sum_{kn=0}^\infty b_k a_n x^kn</math>.נשים לב שאכן במקרה הזה נצטרך את ה-לחשב <math>\limsup</math>(ולא סתם <math>\lim</math>).<math>1/\limsup_{n\to\infty}\frac1\sqrt[n]{b_ka_n}=1/\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]n=1/1=1</math> ולכן רדיוס ההתכנסות הוא 1. נבדוק בקצוות: ב-1 הטור הוא <math>\sum_{n=0}^\infty n!\cdot 1^{n!}\to\infty</math>. ועבור עבור <math>x=-1</math> הטור הוא <math>\sum_{n=0}^\infty n!(-1)^{n!}</math> גם אינסוף , שגם שואף לאינסוף כי <math>n!</math> זוגי לכל <math>n>1</math>.לסיכום, תחום ההתכנסות הוא <math>(-1,1)</math>. {{משל}}