שינויים

נשים לב כי <math>\frac n{(n+1)x^n}=\frac1{x^n}-\frac1{(n+1)x^n}</math>, ומכיוון שהטור המקורי הוא טור חזקות של <math>\frac1x</math>, הוא מתכנס בהחלט בתחום ההתכנסות שלו (למעט, אולי, בקצוות). לפיכך, מספיק לחשב את <math>\sum_{n=1}^\infty \frac1{x^n}-\sum_{n=1}^\infty \frac1{(n+1)x^n}</math>. ראשית נוכיח שהטור <math>\sum_{n=1}^\infty x^n</math> מתכנס במ"ש ב-<math>(0,1)</math>. יהי <math>0<x_0<1</math> ולכן <math>\left|x^n\right|\le x_0^n</math> לכל <math>\frac1xx\in[0,x_0]</math>. כמו כן <math>\sum_{n=1}^\infty x_0^n</math> מתכנס כי <math>0<x_0<1</math> והטור הנדסי, לכן, ממבחן ה-M של ויירשטראסויירשראס, הטור <math>\sum_{n=1}^\infty x^n=\frac1{1-x}</math> מתכנס במ"ש ב-<math>[0,x_0]</math>. עתה נוכל לעשות אינטגרציה איבר-איבר: <math>\int\limits_0^x\frac{\mathrm dt}{1-t}=\int\limits_0^x\sum_{n=1}^\infty t^n\mathrm dt=\sum_{n=1}^\infty\int\limits_0^x t^n\mathrm dt=\sum_{n=21}^\infty\frac{x^{n+1}}{n+1}</math>. כמו כן, ברור כי <math>\int\limits_0^x\frac{\mathrm dt}{1-t}=[-\ln(|1-t)|]_{t=0}^x=-\ln(1-x)</math>. נשאר לחלק ב, ולכן <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n+1}=-\frac1x\ln(1-x ואז לגזור)</math>. עתה, אם <math>x>1</divmath>אזי <math>\frac1x\in(0,1)</math> ולבסוף {{left|<math>\begin{align}\sum_{n=1}^\infty\frac n{(n+1)x^n}&=\sum_{n=1}^\infty \frac1{x^n}-\sum_{n=1}^\infty \frac1{(n+1)x^n}\\&=\frac1{1-\tfrac1x}-\left(-\frac1{1/x}\ln\left(1-\frac1x\right)\right)\\&=\frac x{x-1}-x\ln\left(\frac{x-1}x\right)\end{align}</math>}} {{משל}}

נשים לב כי הטור הנתון אינו טור חזקות, ולכן "נתקן" אותו. נגדיר <math>a_n=\begin{cases}n&\exists k:\ n=k!\\0&\text{else}\end{cases}</math>. נקבל את הטור <math>\sum_{n=0}^\infty a_n x^n</math>. נשים לב שאכן במקרה הזה נצטרך לחשב <math>\limsup</math> (ולא סתם <math>\lim</math>). <math>1/\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=1/\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]n=1/1=1</math> ולכן רדיוס ההתכנסות הוא 1. נבדוק בקצוות: ב-1 הטור הוא <math>\sum_{n=0}^\infty n!\cdot 1^{n!}\to\infty</math>. עבור <math>x=-1</math> הטור הוא <math>\sum_{n=0}^\infty n!(-1)^{n!}</math>, שגם שואף לאינסוף כי <math>n!</math> זוגי לכל <math>n>1</math>. לסיכום, תחום ההתכנסות הוא <math>(-1,1)</math>. {{משל}}