===פתרון===
נשים לב כי <math>\frac n{(n+1)x^n}=\frac1{x^n}-\frac1{(n+1)x^n}</math>, ומכיוון שהטור המקורי הוא טור חזקות של <math>\frac1x</math>, הוא מתכנס בהחלט בתחום ההתכנסות שלו (למעט, אולי, בקצוות). לפיכך, ולפיכך מספיק לחשב את <math>\sum_{n=1}^\infty \frac1{x^n}-\sum_{n=1}^\infty \frac1{(n+1)x^n}</math>.
ראשית נוכיח שהטור <math>\sum_{n=1}^\infty x^n</math> מתכנס במ"ש ב-<math>(0,1)</math>. יהי <math>0<x_0<1</math> ולכן <math>\left|x^n\right|\le x_0^n</math> לכל <math>x\in[0,x_0]</math>. כמו כן <math>\sum_{n=1}^\infty x_0^n</math> מתכנס כי <math>0<x_0<1</math> והטור הנדסי, לכן, ממבחן ה-M של ויירשראס, הטור <math>\sum_{n=1}^\infty x^n=\frac1{1-x}</math> מתכנס במ"ש ב-<math>[0,x_0]</math>. עתה נוכל לעשות אינטגרציה איבר-איבר: <math>\int\limits_0^x\frac{\mathrm dt}{1-t}=\int\limits_0^x\sum_{n=1}^\infty t^n\mathrm dt=\sum_{n=1}^\infty\int\limits_0^x t^n\mathrm dt=\sum_{n=1}^\infty\frac{x^{n+1}}{n+1}</math>. כמו כן, ברור כי <math>\int\limits_0^x\frac{\mathrm dt}{1-t}=[-\ln|1-t|]_{t=0}^x=-\ln(1-x)</math>, ולכן <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n+1}=-\frac1x\ln(1-x)</math>.