משתמש:אור שחף/133 - תרגול/29.5.11

סכומי טורים

תזכורת: (אינטגרציה איבר איבר בסדרות) אם $f_n$ סדרת פונקציות רציפות המתכנסות במ"ש לפונקציה f ב-$[a,b]$, אז f אינטגרבילית ומתקיים $\lim_{n\to\infty}\int\limits_a^b f_n=\int\limits_a^b f$. באופן דומה ננסח עבור גזירה איבר-איבר בסדרות: $f_n$ סדרת פונקציות גזירות ורציפות ב-$[a,b]$ המתכנסת בנקודה אחת $x_0\in[a,b]$ ל-$f(x_0)$. אם $f_n'$ סדרת פונקציות המתכנסות במ"ש ב-$[a,b]$ אז $f$ גזירה $\lim_{n\to\infty} f_n'(x)=f'(x)=\left(\lim_{n\to\infty}f_n(x)\right)'$. באופן דומה נגדיר עבור טורים. עבור אינטגרציה לדוגמה: יהי $\sum_{n=1}^\infty f_n(x)$ טור של פונקציות רציפות ב-$[a,b]$ המתכנס במ"ש בקטע לפונקצית סכום $S(x)$ אז טור המספרים מתכנס ומתקיים $\sum_{n=0}^\infty \int\limits_a^b f_n=\int\limits_a^b \sum_{n=0}^\infty=\int\limits_a^b S$.

דוגמה 1

1. הוכח שלכל $t\in(0,1)$ מתקיים $\ln(1+t)=\sum_{n=1}^\infty (-1)^n\frac{t^n}n$.
2. חשב $\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac1{2^nn}$. פתרון: נעזר בתרגיל בטור הנדסי, ידוע ש-$\ln(1+t)=\int\limits_0^t\frac{\mathrm dx}{1+x}$. בנוסף ידוע שמתקיים $\sum_{n=0}^\infty (-1)^nx^n=\frac1{1+x}$ (לפי סדרה הנדסית). מספיק להראות שהטור הנ"ל במ"ש בקטע סגור מהצורה $[-a,a]$. נשתמש במבחן ה-M של וירשטרס $|(-1)^nx^n|\le a^n$ (עבור הקטע הסגור הנ"ל $[-a,a]$) אם $0<a<1$ ברור ש-$\sum_{n=0}^\infty a^<math>formula$</math> מתכנס ולכן לפי מבחן ה-M הטור המקורי מתכנס במ"ש.

יהי $t\in(-1,1)$, נסתכל על הקטע מהצורה $[0,t]$ שם $\ln(1+t)=\int\limits_0^t\frac{\mathrm dx}{1-(-x)}=\int\limits_0^t \sum_{n=0}^\infty (-1)^nx^n \mathrm dx=\sum_{n=0}^\infty \int\limits_0^t (-1)^nx^n\mathrm dx$ (הראנו שהטור מתכנס במ"ש לפי וירשטרס, נחליף בין האינטגרציה לסכימה). זה שווה ל-$\left[\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{n+1}}{n+1}\right]_{x=0}^1=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nt^{n+1}}{n+1}=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}t^n}n$

ב. ברור כי $t=\frac12$ נמצא בקטע, שם יש התכנסות (כי תחום ההתכנסות טור הנדסי) $\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}\left(\frac12\right)^n}n=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}}{2^nn}=-\ln\left(1+\frac12\right)$

גזירה איבר איבר של טורי פונקציות: יהיו $f_n$ פונציות גזירות רציפות ב-$[a,b]$ כך שהטור $\sum_{n=0}^\infty f_n(x)$ מתכנס ב-$x_0\in[a,b]$ ל-$S(x_0)$ אם טור הנגזרות $\sum_{n=0}^\infty f_n'(x)$ מתכנס במידה שווה בקטע אז מתקיים $\sum_{n=0}^\infty f_n'(x)=S'(x)=\left(\sum_{n=0}^\infty f_n(x)\right)'$.

דוגמה 2

$\sum_{n=0}^\infty\frac n{(-n+1)x^n}$. חשבו את סכום הטור עבור $x>1$.

פתרון

נתייחס לטור הבא $\sum_{n=0}^\infty\frac1{x^n}$ שידוע שמתכנס עבור $x>1$.

יש להראות כי הטור מתכנס במ"ש. ברור שע"י הצבה $t=\frac1x$ באופן דומה לתרגיל נקבל התכנסות במ"ש.

$S_n(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac n{-n+1}\frac1{x^n}$.

הראנו בשאלת הכנה כי הטור מתכנס במ"ש, נשאר לעשות אינטגרציה $\int\sum_{n=0}^\infty x^{-n}\mathrm dx=\sum_{n=0}^\infty \int x^{-n}\mathrm dx=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{-n+1}}{-n+1}=\frac1{1-1/x}$. עד כאן $\sum_{n=0}^\infty \frac{x^{-n+1}}{-n+1}=\frac1{1-1/x}=\frac x{x-1}$. צריך להגיע לטור המבוקש. ברור כי $\int\frac x{x-1}\mathrm dx=\int\frac{x-1+1}{x-1}\mathrm dx=\int\left(1+\frac1{x-1}\right)\mathrm dx=x+\ln|x-1|+c$. נשאר לחלק ב-x ואז לגזור.

דוגמה 2.5 (המטרה להסביר את דוגמה 2)

מהו סכום הטור $\sum_{n=1}^\infty\frac n{x^n}$ עבור $x<1$.

פתרון

נשים לב שאם נגדיר $f_n'(x)=\left(\frac1{x^n}\right)'=(x^{-n})'=-n\cdot x^{-n-1}=\frac{-n}{x^{n+2}}$ ז"א $f_n(x)=\frac1{x^n}$. אם $\sum_{n=1}^\infty f_n=\sum_{n=1}^\infty \frac1{x^n}=\frac{1/x}{1-1/x}=\frac1{1-x}$. נבדוק את התנאים למשפט "גזירה איבר-איבר של טור פונקציות". דרוש ש-$\sum f_n'(x)$ יתכנס במ"ש.

נעזר במבחן ה-M של וירשטרס. אם $x>1$ אז יש $1<a<x$ שם מתקיים עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \left|\frac{-n}{x^{n+1}}\right|\le\left|\frac n{a^{n+1}} . הטור $\sum_{n=1}^\infty \frac n{a^{n+1}}$ טור מתכנס עפ"י מבחן דלאמר או מבחן השורש).

נסיק לפי מבחן ה-M של וירשטרס שהטור $\sum_{n=1}^\infty\frac{-n}{x^{n+1}}$ מתכנס במ"ש ולכן אפשר להחליף סדר גזירה. $\left(\sum_{n=1}^\infty \frac1{x^n}\right)'=\sum_{n=1}^\infty \left(\frac1{x^n}\right)'=\sum_{n=1}^\infty \frac{-n}{x^{n+1}}=\left(\frac1{x-1}\right)'=\frac{-1}{(x-1)^2}$ לסיכום $\sum_{n=1}^\infty \frac{-n}{x^{n+1}}=\frac{-1}{(x-1)^2}$.

טור חזקות

רדיוס ההתכנסות של טור חזקות $\sum_{n=1}^\infty a_nx^n$ הוא $\frac1{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}$ ןקצוות הטור נבדוק בנפרד.

דוגמה 3

מצא תחום התכנסות של הטור $\sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}\sqrt[3]n$

פתרון

אכן מדובר על חזקות כי $\sum=\sum_{n=1}^\infty \frac1\sqrt[3]nx^n$ ולכן $a_n=\frac1\sqrt[3]n$ ואז רדיוס ההתכנסות הוא $R=\frac1{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]\frac1\sqrt[3]n}=1$. ז"א $|x|<1$ נשאר לבדוק האם יש התכנסות בקצוות $\pm1$. עבור $x=1$: $\sum_{n=1}^\infty \frac{1^n}\sqrt[3]n$ שמתבדר כי $\sum>\sum_{n=1}^\infty\frac1n$ ולכן לפי מבחן ההשוואה מתבדר.

עבור $x=-1$: ברור שהטור מתכנס לפי טור לייבניץ. לסיכום תחום ההתכנסות הוא $[-1,1)$.

דוגמה 4

חשבו את תחום ההתכנסות של $\sum_{n=0}^\infty n!x^{n!}$. נשים לב כי הטור הנתון לא טור חזקות. "נתקן" את הטור לטור חזקות. נסתכל קודם על המקור. נסמן $a_n=n!$ ונגדיר $b_k=\begin{cases}n!&k=n!\\0&\text{else}\end{cases}$. ברגע זה נקבל את הטור $\sum_{k=0}^\infty b_k x^k$.נשים לב שאכן במקרה הזה נצטרך את ה-$\limsup$.$\limsup_{n\to\infty}\frac1\sqrt[n]{b_k}=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]n=1$ ולכן רדיוס ההתכנסות הוא 1. נבדוק בקצוות: ב-1 הטור הוא $\sum_{n=0}^\infty n!\cdot 1^{n!}\to\infty$. ועבור $x=-1$ הטור הוא $\sum_{n=0}^\infty n!(-1)^{n!}$ גם אינסוף כי $n!$ זוגי לכל $n>1$.