הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - תרגול/6.3.11"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(יצירת דף עם התוכן "==שיטות פרמיטיביות לחישוב שטחים== '''המטרה:''' לחשב שטח מתחת לכל עקומה (כמעט). ==דוגמה 1== חשב את ...")
 
(דוגמה 1 {{הערה|(שיטת פירוק)}})
 
(5 גרסאות ביניים של 2 משתמשים אינן מוצגות)
שורה 1: שורה 1:
==שיטות פרמיטיביות לחישוב שטחים==
+
=שיטות פרמיטיביות לחישוב שטחים=
 
'''המטרה:''' לחשב שטח מתחת לכל עקומה (כמעט).
 
'''המטרה:''' לחשב שטח מתחת לכל עקומה (כמעט).
  
שורה 5: שורה 5:
 
חשב את השטח הכלוא בין ציר ה-x לעקומה במקרים הבאים:
 
חשב את השטח הכלוא בין ציר ה-x לעקומה במקרים הבאים:
  
# <math>\int\limits_0^5 |x-3|\mathrm dx</math><br/> פתרון: נשים לב להגדרת <math>|x-3|</math> לפיה האינטגרל שווה ל-<math>\int\limits_0^3-(x-3)\mathrm dx+\int\limits_3^5 (x-3)\mathrm dx</math>. מספיק לחשב את השטחים I ו-II. נעשה זאת לפי שטח משולש: עבור I - <math>\int\limits_0^3-(x-3)\mathrm dx=\frac{3\cdot3}2=4.5</math> ועבור II - <math>\int\limits_3^5 (x-3)\mathrm dx=\frac{2\cdot2}2=2</math> ולכן השטח הכולל הוא 6.5.
+
# <math>\int\limits_0^5 |x-3|\mathrm dx</math><br/> פתרון: נשים לב להגדרת <math>|x-3|</math> לפיה האינטגרל שווה ל-<math>\int\limits_0^3-(x-3)\mathrm dx+\int\limits_3^5 (x-3)\mathrm dx</math>. גרף (1) מספיק לחשב את השטחים I ו-II. נעשה זאת לפי שטח משולש: עבור I - <math>\int\limits_0^3-(x-3)\mathrm dx=\frac{3\cdot3}2=4.5</math> ועבור II - <math>\int\limits_3^5 (x-3)\mathrm dx=\frac{2\cdot2}2=2</math> ולכן השטח הכולל הוא 6.5. {{משל}}<br />''הערה:'' אם התחום היה, למשל, <math>[4,5]</math> היינו יכולים לחשב לפי שטח טרפז.
הערה: אם התחום היה <math>[4,5]</math> היינו מחשבים לפי שטח טרפז.
+
# <math>\int\limits_0^{10} \sqrt{10x-x^2}\mathrm dx</math>. פתרון: נבדוק מהו גרף הפונקציה. נסמן <math>y=\sqrt{10x-x^2}\implies y^2=10x-x^2\implies (x-5)^2+y^2=5^2</math>. קיבלנו מעגל - גרף (2). מסימטריות המעגל אפשר לקחת חצי משטח המעגל. <math>\int\limits_0^{10}\sqrt{10x-x^2}\mathrm dx=\frac{25\pi}2</math> {{משל}}
# <math>\int\limits_0^{10} \sqrt{10x-x^2}\mathrm dx</math>. פתרון: נבדוק מהו גרף הפונקציה. נסמן <math>y=\sqrt{10x-x^2}\implies y^2=10x-x^2\implies (x-5)^2+y^2=5^2</math>. קיבלנו מעגל - גרף (2). מסימטריות המעגל אפשר לקחת חצי משטח המעגל. <math>\int\limits_0^{10}\sqrt{10x-x^2}\mathrm dx=\frac{25\pi}2+c</math>
+
# <math>\int\limits_a^b\sqrt\frac{4-x^2}2\mathrm dx</math>, כאשר a,b הם גבולות העקומה. פתרון: נסמן <math>y=\sqrt\frac{4-x^2}2\implies \left(\frac y\sqrt2\right)^2+\left(\frac x2\right)^2=0</math>. זוהי אליפסה שמרכזה ב-<math>(0,0)</math>. נסמן <math>a=2,\ b=\sqrt2</math> ולפי נוסחה לשטח אליפסה (<math>\pi a b</math>) נקבל <math>2\sqrt2\pi</math>. האינטגרל הוא מחצית השטח, כלומר <math>\sqrt2\pi</math>. {{משל}}
# <math>\int\limits_a^b\sqrt\frac{4-x^2}2\mathrm dx</math>, כאשר a,b הם גבולות העקומה. פתרון: נסמן <math>y=\sqrt\frac{4-x^2}2\implies \left(\frac y\sqrt2\right)^2+\left(\frac x2\right)^2</math>. זוהי אליפסה שמרכזה ב-<math>(0,0)</math>. נסמן <math>a=2,\ b=\sqrt2</math> ולפי נוסחה לשטח אליפסה (<math>\pi a b</math>) נקבל <math>2\sqrt2\pi</math> והאינטגרל הוא מחצית השטח, כלומר <math>\sqrt2\pi</math>.
+
  
 
=האינטגרל הלא מסויים=
 
=האינטגרל הלא מסויים=
'''המטרה:''' להגדיר אינטגרל דרך פונקציה קדומה. <math>F(x)\int f(x)\mathrm dx</math> ולכן אפשר להשתמש בכיוון השני של טבלת הגזירה. למשל, <math>\frac{\mathrm d\ln(x)}{\mathrm dx}=\frac1x</math> ולכן <math>\int\frac{\mathrm dx}x=\ln|x|+c</math>
+
'''המטרה:''' להגדיר אינטגרל דרך פונקציה קדומה: <math>F(x)=\int f(x)\mathrm dx</math> ולכן אפשר להשתמש בכיוון השני של טבלת הגזירה. למשל, <math>\frac{\mathrm d\ln(x)}{\mathrm dx}=\frac1x</math> ולכן <math>\int\frac{\mathrm dx}x=\ln|x|+c</math>
  
 
==דוגמה 1 {{הערה|(שיטת פירוק)}}==
 
==דוגמה 1 {{הערה|(שיטת פירוק)}}==
 
חשב <math>\int\frac{2x^4}{1+x^2}\mathrm dx</math>.
 
חשב <math>\int\frac{2x^4}{1+x^2}\mathrm dx</math>.
 
===פתרון===
 
===פתרון===
זה שווה ל-<math>2\int\frac{x^4+1-1}{1+x^2}\mathrm dx=2\int(x^2-1)\mathrm dx+2\int\frac{\mathrm dx}{1+x^2}=2\frac{x^3}3-2x+2\arcsin(x)+c</math>
+
זה שווה ל-{{left|<math>\begin{align}2\int\frac{x^4-1+1}{1+x^2}\mathrm dx&=2\int\left(\frac{(x^2-1)(x^2+1)}{x^2+1}+\frac1{x^2+1}\right)\mathrm dx\\&=2\int(x^2-1)\mathrm dx+2\int\frac{\mathrm dx}{1+x^2}\\&=2\frac{x^3}3-2x+2\arcsin(x)+c\end{align}</math>}}
 +
{{משל}}
  
 +
'''באופן כללי:''' נבדוק מה מאפס את המונה ומה מאפס את המכנה (במקרה הזה לא מתאפס ב-<math>\mathbb R</math>). אם מצטמצם ננסה חילוק פולינומים, אחרת נחפש להציג כקבוע ועוד שארית. דוגמה נוספת: <math>\int\frac{x^2}{x^2+1}\mathrm dx=\int\frac{x^2+1-1}{x^2+1}\mathrm dx</math>.
  
באופן טכני נבדוק מה מאפס את המונה ומה מאפס את המכנה (במקרה הזה לא מתאפס ב-<math>\mathbb R</math>). אם מצטמצם ננסה חילוק פולינומים, אחרת נחפס להציג כקבוע ועוד שארית. דוגמה: <math>\int\frac{x^2}{x^2+1}\mathrm dx</math>
+
==דוגמה 2==
 +
חשב <math>I=\int\frac{\mathrm dx}{\sin^2(x)\cos^2(x)}</math>.
 +
===פתרון===
 +
'''דרך א:''' מתקיים <math>I=4\int\frac{\mathrm dx}{\Big(2\sin(x)\cos(x)\Big)^2}=4\int\frac{\mathrm dx}{(\sin(2x))^2}</math>. זהו אינטגרל לא פשוט ולכן ננסה את '''דרך ב:''' {{left|<math>\begin{align}I&=\int\frac{\sin^2(x)+\cos^2(x)}{\sin^2(x)\cos^2(x)}\mathrm dx\\&=\int\frac{\mathrm dx}{\sin^2(x)}+\int\frac{\mathrm dx}{\cos^2(x)}\\&=\tan(x)-\cot(x)+c\end{align}</math>}}
 +
{{משל}}
  
===דוגמה 2===
+
ניתן לבדוק זאת ע"י גזירת הפונקציה הקדומה, אבל כמובן שההוכחה הזו מספיקה.
<math>\int\frac{\mathrm dx}{\sin^2(x)\cos^2(x)}</math>.
+
דרך א: האינטגרל הוא <math>4\int\frac{\mathrm dx}{\Big(2\sin(x)\cos(x)\Big)^2}=4\int\frac{\mathrm dx}{(\sin(2x))^2}</math>. זהו אינטגרל לא פשוט ולכן ננסה את
+
דרך ב: <math>\int\frac{\sin^2(x)+\cos^2(x)}{\sin^2(x)\cos^2(x)}\mathrm dx=\int\frac{\mathrm dx}{\sin^2(x)}+\int\frac{\mathrm dx}{\cos^2(x)}=\tan(x)-\cot(x)+c</math>
+
 
+
בדיקה: אפשר לגזור על הפונקציה הקדומה ולבדוק אם הגענו לתשובה הנכונה.
+
  
 
----
 
----
שורה 32: שורה 32:
 
'''שיטת ההצבה:''' <math>\int f(g(x))g'(x)\mathrm dx=F(g(x))+c</math>
 
'''שיטת ההצבה:''' <math>\int f(g(x))g'(x)\mathrm dx=F(g(x))+c</math>
  
===דוגמה 3===
+
==דוגמה 3==
 
חשב <math>\int\sin^5(x)\cos(x)\mathrm dx</math>.
 
חשב <math>\int\sin^5(x)\cos(x)\mathrm dx</math>.
====פתרון====
+
===פתרון===
נציב <math>y=\sin(x)</math> ולכן <math>\mathrm dy=\cos(x)\mathrm dx</math>. נחזור לתרגיל: <math>\int y^5\mathrm dy=\frac{y^6}6+c=\frac{\sin^6(x)}6+c</math>
+
נציב <math>y=\sin(x)</math> ולכן <math>\mathrm dy=\cos(x)\mathrm dx</math>. אזי האינטגרל הוא: <math>\int y^5\mathrm dy=\frac{y^6}6+c=\frac{\sin^6(x)}6+c</math>. {{משל}}
  
באופן כללי: בפונקציות מהצורה <math>\sin^n(x)\cos^m(x)</math> (עבור <math>n,m\in\mathbb N</math>) נשתמש בשיטת ההצבה אם <math>m+n</math> אי זוגי. אם זוגי ננסה להשתמש בזהויות השונות. לדוגמה:
+
<!--
<math>\sin^2(x)=\frac{1-\cos(2x)}2</math>
+
'''באופן כללי:''' בפונקציות מהצורה <math>\sin^n(x)\cos^m(x)</math> (עבור <math>n,m\in\mathbb N</math>) נשתמש בשיטת ההצבה אם <math>n</math> אי זוגי, באופן הבא: נציב <math>y=\sin^\frac{n+1}2(x)</math> ואז <math>\mathrm dy=\frac{n+1}2\sin^\frac{n-1}2(x)\cos(x)\mathrm dx</math> ולכן <math>\sin^n(x)\cos^m(x)\mathrm dx=\frac2{n+1}\cos^{m-1}(x)\cdot\frac{n+1}2\cdot\sin^\frac{n+1}2(x)\sin^\frac{n-1}2(x)\cos(x)\mathrm dx=\frac2{n+1}y</math>.
  
'''אינטגרציה בחלקים:''' הכלל <math>\int f(x)g'(x)\mathrm dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\mathrm dx</math>
+
אם <math>n+m</math> זוגי ננסה להשתמש בזהויות השונות, כמו
 +
<math>\sin^2(x)=\frac{1-\cos(2x)}2</math>.
 +
-->
  
===דוגמה 4===
+
----
 +
 
 +
'''אינטגרציה בחלקים:''' <math>\int f(x)g'(x)\mathrm dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\mathrm dx</math>.
 +
 
 +
==דוגמה 4==
 
חשב את האינטגרלים הבאים:
 
חשב את האינטגרלים הבאים:
# <math>\int xe^x\mathrm dx</math>. פתרון: לפי אינטגרציה בחלקים, <math>f(x)=x\ \and\ g(x)=e^x</math>. לכן האינטגרל שווה ל-<math>xe^x-\int1e^x\mathrm dx=xe^x-e^x+c</math>. '''מסקנה:''' כל פולינום ממעלה <math>n\in\mathdd N</math> כפול פונקציה שמקיימת (עבור <math>m\in\mathdd N</math>) <math>g^{(m)}(x)=g(x)</math> נעשה אינטגרציה בחלקים n פעמים ונקבל את הפתרון.
+
<ol>
# <math>\int\ln(x)\mathrm dx</math>. פתרון: נסמן <math>f(x)=\ln(x)\ \and\ g(x)=x</math> ואז <math>x\ln(x)-\int\frac{\mathrm dx}x=x\ln(x)-x+c</math>.
+
<li><math>\int xe^x\mathrm dx</math>
# <math>\int\sin(x)e^x\mathrm dx</math> פתרון: <math>f(x)=\sin(x)\ \and\ g(x)=e^x</math> ואז <math>\sin(x)e^x-\int\cos(x)e^x\mathrm dx</math>. ולפי אינטגרציה שנייה: <math>\sin(x)e^x-\cos(x)e^x-\int\sin(x)e^x\mathrm dx</math> ולכן <math>\int\sin(x)e^x\mathrm dx=\frac12\left(\sin(x)e^x-\cos(x)e^x\right)+c</math>.
+
===פתרון===
 +
לפי אינטגרציה בחלקים, נגדיר <math>f(x)=x\ \and\ g(x)=e^x</math>. לכן האינטגרל שווה ל-<math>xe^x-\int1e^x\mathrm dx=xe^x-e^x+c</math>. {{משל}}
 +
 
 +
'''מסקנה:''' לכל פולינום ממעלה <math>n\in\mathbb N</math> כפול פונקציה g שמקיימת (עבור <math>m\in\mathbb N</math> כלשהו) <math>g^{(m)}(x)=g(x)</math> נעשה אינטגרציה בחלקים n פעמים ונקבל את הפתרון<!--: {{left|<math>\begin{align}\int g(x)\sum_{k=0}^n a_kx^k\mathrm dx&=g^{(m-1)}(x)\sum_{k=0}^n a_kx^k-\int g^{(m-1)}(x)\sum_{k=1}^n a_k\cdot kx^{k-1}\mathrm dx\\&=\dots\\&=\sum_{i=0}^{n-1}(-1)^i g^{(m-i-1)}(x)\sum_{k=i}^n a_k \frac{k!}{(k-i)!}x^{k-i}+(-1)^n\int g^{(m-n)}(x)\mathrm dx\\&=\sum_{i=0}^n(-1)^i g^{(m-i-1)}(x)\sum_{k=i}^n a_k \frac{k!}{(k-i)!}x^{k-i}+c\end{align}</math>}}--></li>
 +
<li><math>\int\ln(x)\mathrm dx</math>
 +
===פתרון===
 +
נסמן <math>f(x)=\ln(x)\ \and\ g(x)=x</math> ואז <math>x\ln(x)-\int\frac{\mathrm dx}x=x\ln(x)-x+c</math>. {{משל}}</li>
 +
<li><math>\int\sin(x)e^x\mathrm dx</math>
 +
===פתרון===
 +
<math>f(x)=\sin(x)\ \and\ g(x)=e^x</math> ואז <math>\sin(x)e^x-\int\cos(x)e^x\mathrm dx</math>. ולפי אינטגרציה שנייה: <math>\sin(x)e^x-\cos(x)e^x-\int\sin(x)e^x\mathrm dx</math> ולכן <math>\int\sin(x)e^x\mathrm dx=\frac12\left(\sin(x)e^x-\cos(x)e^x\right)+c</math>. {{משל}}
  
מסקנה: במקרה של f,g יש מספר סופי של נגזרות שונות, ונשתמש בשיטה זו.
+
'''מסקנה:''' במקרה של-f,g יש מספר סופי של נגזרות שונות, נשתמש בשיטה זו.</li>
 +
</ol>
  
 
==דוגמה 5==
 
==דוגמה 5==
 
<math>\int\frac{3^x}\sqrt{1-9^x}\mathrm dx</math>.
 
<math>\int\frac{3^x}\sqrt{1-9^x}\mathrm dx</math>.
 
===פתרון===
 
===פתרון===
בשיטת ההצבה, <math>y=3^x</math> והאינטגרל הנ"ל שווה ל-<math>\frac1{\ln(3)}\int\frac{\mathrm dy}\sqrt{1-y^2}=\frac1{\ln(3)}\arcsin(3^x)+c</math>
+
בשיטת ההצבה, <math>y=3^x\implies\mathrm dy=\ln(3)\cdot3^x\mathrm dx</math> והאינטגרל הנ"ל שווה ל-<math>\frac1{\ln(3)}\int\frac{\mathrm dy}\sqrt{1-y^2}=\frac1{\ln(3)}\arcsin(3^x)+c</math>. {{משל}}

גרסה אחרונה מ־11:28, 14 במאי 2011

שיטות פרמיטיביות לחישוב שטחים

המטרה: לחשב שטח מתחת לכל עקומה (כמעט).

דוגמה 1

חשב את השטח הכלוא בין ציר ה-x לעקומה במקרים הבאים:

  1. \int\limits_0^5 |x-3|\mathrm dx
    פתרון: נשים לב להגדרת |x-3| לפיה האינטגרל שווה ל-\int\limits_0^3-(x-3)\mathrm dx+\int\limits_3^5 (x-3)\mathrm dx. גרף (1) מספיק לחשב את השטחים I ו-II. נעשה זאת לפי שטח משולש: עבור I - \int\limits_0^3-(x-3)\mathrm dx=\frac{3\cdot3}2=4.5 ועבור II - \int\limits_3^5 (x-3)\mathrm dx=\frac{2\cdot2}2=2 ולכן השטח הכולל הוא 6.5. \blacksquare
    הערה: אם התחום היה, למשל, [4,5] היינו יכולים לחשב לפי שטח טרפז.
  2. \int\limits_0^{10} \sqrt{10x-x^2}\mathrm dx. פתרון: נבדוק מהו גרף הפונקציה. נסמן y=\sqrt{10x-x^2}\implies y^2=10x-x^2\implies (x-5)^2+y^2=5^2. קיבלנו מעגל - גרף (2). מסימטריות המעגל אפשר לקחת חצי משטח המעגל. \int\limits_0^{10}\sqrt{10x-x^2}\mathrm dx=\frac{25\pi}2 \blacksquare
  3. \int\limits_a^b\sqrt\frac{4-x^2}2\mathrm dx, כאשר a,b הם גבולות העקומה. פתרון: נסמן y=\sqrt\frac{4-x^2}2\implies \left(\frac y\sqrt2\right)^2+\left(\frac x2\right)^2=0. זוהי אליפסה שמרכזה ב-(0,0). נסמן a=2,\ b=\sqrt2 ולפי נוסחה לשטח אליפסה (\pi a b) נקבל 2\sqrt2\pi. האינטגרל הוא מחצית השטח, כלומר \sqrt2\pi. \blacksquare

האינטגרל הלא מסויים

המטרה: להגדיר אינטגרל דרך פונקציה קדומה: F(x)=\int f(x)\mathrm dx ולכן אפשר להשתמש בכיוון השני של טבלת הגזירה. למשל, \frac{\mathrm d\ln(x)}{\mathrm dx}=\frac1x ולכן \int\frac{\mathrm dx}x=\ln|x|+c

דוגמה 1 (שיטת פירוק)

חשב \int\frac{2x^4}{1+x^2}\mathrm dx.

פתרון

זה שווה ל-
\begin{align}2\int\frac{x^4-1+1}{1+x^2}\mathrm dx&=2\int\left(\frac{(x^2-1)(x^2+1)}{x^2+1}+\frac1{x^2+1}\right)\mathrm dx\\&=2\int(x^2-1)\mathrm dx+2\int\frac{\mathrm dx}{1+x^2}\\&=2\frac{x^3}3-2x+2\arcsin(x)+c\end{align}

\blacksquare

באופן כללי: נבדוק מה מאפס את המונה ומה מאפס את המכנה (במקרה הזה לא מתאפס ב-\mathbb R). אם מצטמצם ננסה חילוק פולינומים, אחרת נחפש להציג כקבוע ועוד שארית. דוגמה נוספת: \int\frac{x^2}{x^2+1}\mathrm dx=\int\frac{x^2+1-1}{x^2+1}\mathrm dx.

דוגמה 2

חשב I=\int\frac{\mathrm dx}{\sin^2(x)\cos^2(x)}.

פתרון

דרך א: מתקיים I=4\int\frac{\mathrm dx}{\Big(2\sin(x)\cos(x)\Big)^2}=4\int\frac{\mathrm dx}{(\sin(2x))^2}. זהו אינטגרל לא פשוט ולכן ננסה את דרך ב:
\begin{align}I&=\int\frac{\sin^2(x)+\cos^2(x)}{\sin^2(x)\cos^2(x)}\mathrm dx\\&=\int\frac{\mathrm dx}{\sin^2(x)}+\int\frac{\mathrm dx}{\cos^2(x)}\\&=\tan(x)-\cot(x)+c\end{align}

\blacksquare

ניתן לבדוק זאת ע"י גזירת הפונקציה הקדומה, אבל כמובן שההוכחה הזו מספיקה.


שיטת ההצבה: \int f(g(x))g'(x)\mathrm dx=F(g(x))+c

דוגמה 3

חשב \int\sin^5(x)\cos(x)\mathrm dx.

פתרון

נציב y=\sin(x) ולכן \mathrm dy=\cos(x)\mathrm dx. אזי האינטגרל הוא: \int y^5\mathrm dy=\frac{y^6}6+c=\frac{\sin^6(x)}6+c. \blacksquare



אינטגרציה בחלקים: \int f(x)g'(x)\mathrm dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\mathrm dx.

דוגמה 4

חשב את האינטגרלים הבאים:

  1. \int xe^x\mathrm dx

    פתרון

    לפי אינטגרציה בחלקים, נגדיר f(x)=x\ \and\ g(x)=e^x. לכן האינטגרל שווה ל-xe^x-\int1e^x\mathrm dx=xe^x-e^x+c. \blacksquare

    מסקנה: לכל פולינום ממעלה n\in\mathbb N כפול פונקציה g שמקיימת (עבור m\in\mathbb N כלשהו) g^{(m)}(x)=g(x) נעשה אינטגרציה בחלקים n פעמים ונקבל את הפתרון
  2. \int\ln(x)\mathrm dx

    פתרון

    נסמן f(x)=\ln(x)\ \and\ g(x)=x ואז x\ln(x)-\int\frac{\mathrm dx}x=x\ln(x)-x+c. \blacksquare
  3. \int\sin(x)e^x\mathrm dx

    פתרון

    f(x)=\sin(x)\ \and\ g(x)=e^x ואז \sin(x)e^x-\int\cos(x)e^x\mathrm dx. ולפי אינטגרציה שנייה: \sin(x)e^x-\cos(x)e^x-\int\sin(x)e^x\mathrm dx ולכן \int\sin(x)e^x\mathrm dx=\frac12\left(\sin(x)e^x-\cos(x)e^x\right)+c. \blacksquare

    מסקנה: במקרה של-f,g יש מספר סופי של נגזרות שונות, נשתמש בשיטה זו.

דוגמה 5

\int\frac{3^x}\sqrt{1-9^x}\mathrm dx.

פתרון

בשיטת ההצבה, y=3^x\implies\mathrm dy=\ln(3)\cdot3^x\mathrm dx והאינטגרל הנ"ל שווה ל-\frac1{\ln(3)}\int\frac{\mathrm dy}\sqrt{1-y^2}=\frac1{\ln(3)}\arcsin(3^x)+c. \blacksquare