*[[משתמש:איתמר שטיין/הסבר הופכי|הסבר על חישוב הופכי ב <math>\mathbb{Z}_p</math>]]
פתרון הבוחן:
שאלה 1:
נתון כי <math>A = \begin{bmatrix} 1 & a &b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} </math>.
ו <math>B = \begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ d & 2 & 0 \\ e & f & 3 \end{bmatrix} </math>.
צריך למצוא מטריצות אלמנטריות <math>E_1 , E_2 ,\ldots , E_k</math>. כך ש <math>E_1 \cdot E_2 \cdot \ldots \cdot E_k A =B </math>.
מדרגים את מטריצה <math>A</math> למטריצה <math>B</math>.
<math>\begin{bmatrix} 1 & a &b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \overset{R_2 = R_2 - cR_3} {\rightarrow} \begin{bmatrix} 1 & a &b \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \overset{R_1 = R_1 - bR_3} {\rightarrow} \begin{bmatrix} 1 & a &0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
\overset{R_1 = R_1 - aR_2} {\rightarrow}
\begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
\overset{R_3 = 3R_3} {\rightarrow}
\begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}
\overset{R_3 = R_3 + eR_1} {\rightarrow}
\begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0 & 1 & 0 \\ e & 0 & 3 \end{bmatrix}
</math>
<math>
\overset{R_3 = R_3 + fR_2} {\rightarrow}
\begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0 & 1 & 0 \\ e & f & 3 \end{bmatrix}
\overset{R_2 = 2R_2} {\rightarrow}
\begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0 & 2 & 0 \\ e & f & 3 \end{bmatrix}
\overset{R_2 = R_2 + dR_1} {\rightarrow}
\begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ d & 2 & 0 \\ e & f & 3 \end{bmatrix}
</math>
לכן מטריצות אלמנטריות מתאימות הן
<math>
E_8=\begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0 & 1 & -c \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
E_7=\begin{bmatrix} 1 & 0 &-b \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
E_6=\begin{bmatrix} 1 & -a &0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
E_5=\begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}
E_4=\begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0 & 1 & 0 \\ e & 0 & 1 \end{bmatrix}
E_3=\begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & f & 1 \end{bmatrix}
E_2=\begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
E_1=\begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ d & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
</math>
ומתקיים <math>E_1 \cdot E_2 \cdot \ldots \cdot E_8 A=B</math>.
(זאת לא התשובה היחידה הנכונה, אבל זאת אחת הפשוטות)