שינויים

===סעיף א=שאלה 4==

ראשית נשים לב שמשפט לייבניץ לא עובד כאן. כי לייבניץ דורש (בין השאר) ש <math>a_n=\frac{1}{\sqrt{n^2+1}} +\ldots + \frac{1}{\sqrt{n^2+n}}</math>היא סדרה מונוטונית יורדת.

בגלל ש <math>\lim_{n^2+1<n^2+i</math> (כאשר <math>1\leq irightarrow \leq ninfty} a_n=0</math>)

<math>\fracsum_{n=1}^{\sqrtinfty} (-1)^{n^2+i1}a_n=\sum_{n=1}^{\leq infty}(-1)^{2n+2}\frac{1}{n}=\sqrtsum_{n=1}^2+{\infty}\frac{1}{n} </math>

ולכן <math>a_n\leq b_n</math> בצורה דומה נגדיר  <math>c_n=\frac{1}{\sqrt{n^2+n}} +\ldots + \frac{1}{\sqrt{n^2+n}}=\frac{n}{\sqrt{n^2+n}}</math> ויתקיים <math>c_n\leq a_n</math> <math>\lim_{n\rightarrow \infty} b_n = \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n}{\sqrt{n^2+1}}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n}{n} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}}=1</math> ו  <math>\lim_{n\rightarrow \infty} c_n = \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n}{\sqrt{n^2+n}}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n}{n} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}}=1</math> לכן לפי כלל הסנדויץ <math>\lim_{n\rightarrow \infty} a_n=1</math>שהוא טור מתבדר.