<math>f_1(x,y,z)=x^2+y^2-\frac{1}{2}z^2=0</math>
<math>f_2(x,y,z)=x+y+z-2=0</math>
קיימות עד איזה סדר שרוצים. כמו כן, הנקודה <math>(1,-1,2)</math> מקיימת את מערכת המשוואות. נבדוק את התנאי של משפט הפונקציה הסתומה
<math>\begin{bmatrix}
\frac{\partial f_1}{\partial x} & \frac{\partial f_1}{\partial y} \\
\frac{\partial f_2}{\partial x} & \frac{\partial f_2}{\partial y} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2x & 2y \\1 & 1 \end{bmatrix}</math> בנקודה <math>(1,-1,2)</math> נקבל את המטריצה <math>\begin{bmatrix}2 & -2 \\1 & 1 \end{bmatrix}</math> שהיא מטריצה הפיכה. לכן לפי משפט הפונקציה הסתומה, אכן מוגדרות פונקציות של<math>x,y</math> לפי <math>z</math> לפי משפט הפונקציה הסתומה, קיימת סביבה של הנקודה <math>(1,-1,2)</math> שבה מתקיים: <math>\begin{bmatrix}\frac{\partial f_1}{\partial x} & \frac{\partial f_1}{\partial y} \\\frac{\partial f_2}{\partial x} & \frac{\partial f_2}{\partial y} \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\frac{dx}{dz} \\\frac{dy}{dz}\end{bmatrix}=-\begin{bmatrix}\frac{\partial f_1}{\partial z} \\\frac{\partial f_1}{\partial z} \end{bmatrix}</math> כלומר במקרה שלנו: <math>\begin{bmatrix}2x & 2y \\1 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\frac{dx}{dz} \\\frac{dy}{dz}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}z \\-1 \end{bmatrix}</math> אם פותרים את המשוואות רואים ש <math>\begin{bmatrix}\frac{dx}{dz} \\\frac{dy}{dz}\end{bmatrix}=\frac{1}{2x-2y}\begin{bmatrix}1 & -2y \\-1 & 2x \end{bmatrix}\begin{bmatrix}z \\-1 \end{bmatrix}</math> כלומר: <math>\frac{dx}{dz} = \frac{z+2y}{2x-2y},\quad \frac{dy}{dz}=\frac{-z-2x}{2x-2y} </math> מכאן, על ידי הצבה של <math>(1,-1,2)</math> קל לראות שבנקודה <math>z=2</math> מתקיים <math>\frac{dx}{dz}(2)=0,\quad \frac{dy}{dz}(2)=-1</math> כמו כן נחשב את <math>x''(z)</math> בסביבה של <math>(1,-1,2)</math> על ידי גזירה רגילה לפי <math>z</math> (אבל נשים לב ש <math>x,y</math> הם פונקציות של <math>z</math>): <math>x''(z)=\frac{(1+2y')(2x-2y)-(z+2y)(2x'-2y')}{(2x-2y)^2}</math> נציב <math>x=1,y=-1,z=2,x'=0,y'=-1</math> ונקבל: <math>x''(2)=\frac{(1-2)4-(0)(0+2)}{16}=-\frac{1}{4}</math>