<math>\{(x,y)\mid x=0\}\cup \{(x,y)\mid y=0\} \cup \{(\frac{1}{2},\frac{1}{3})\}</math>
עכשיו צריך לסווג
מטריצת ההסיאן היא:
\begin{bmatrix}
6xy^2-12x^2y^2-6xy^3 & 6x^2y-8x^3y-9x^2y^2 \\
6x^2y-8x^3y-9x^2y^2 & 2x^3-2x^4-6x^3y
\end{bmatrix}
כמובן שהצבה של <math>x=0</math> או <math>y=0</math> לא תקדם אותנו יותר מדי.
אם נציב <math>(\frac{1}{2},\frac{1}{3})</math> נקבל (אם אין לי טעות חישוב):
\begin{bmatrix}
\frac{1}{3}-\frac{1}{3}-\frac{1}{9} & \frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{4} \\
\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{4} & \frac{1}{4}-\frac{1}{8}-\frac{1}{4}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
-\frac{1}{9} & -\frac{1}{12} \\
-\frac{1}{12} & -\frac{1}{8}
\end{bmatrix}
המינור הראשון שלילי והמינור השני חיובי, לכן זו מטריצה שלילית (לחלוטין) ולכן זו נקודת מקסימום.
עכשיו צריך למיין ידנית את שאר הנקודות.
נתחיל בנקודות שעל ציר <math>y</math>.
נביט על נקודה כלשהיא <math>(0,y_0)</math>.
אם נתקדם לאורך הישר <math>y=-x+y_0</math> (שעובר כמובן ב <math>(0,y_0)</math>).
אז
<math>f(x,-x+y_0)=x^3(-x+y_0)^2(1-y_0)</math>
אם <math>y_0>1</math> אז הפונקציה שלנו שלילית כש <math>x>0</math> וחיובית כש <math>x<0</math>
אם <math>y_0<1</math> אז הפונקציה שלנו חיובית כש <math>x>0</math> ושלילית כש <math>x<0</math>
בכל מקרה היא לא תהיה נקודת קיצון.
נותר לבדוק את הנקודה <math>(0,1)</math>. נתקדם לאור הישר <math>y=1</math> ונקבל ש
<math>f(x,1)=</math>