שינויים

במקרה שלנו <math>\cos(\theta)</math> היא חיובית כאשר <math>0\geqleq\theta \leq \frac{\pi}{2}</math> וכאשר <math>\frac{3\pi}{2} \geqleq\theta \leq 2\pi </math>ושלילית כאשר <math>\frac{\pi}{2}\geqleq\theta \leq \frac{3\pi}{2}</math>

<math>\int _0 ^\pi \, \int_0^\pi \, |\cos(x+y)| \mathrm{d}x\mathrm{d}y= \iint \limits_{0\leq x+y \leq \frac{\pi}{2}} \, \cos(x+y) \mathrm{d}x\mathrm{d}y-\iint \limits_{\frac{\pi}{2}\leq x+y \leq \frac{3\pi}{2}} \, \cos(x+y) \mathrm{d}x\mathrm{d}y+\iint \limits_{\frac{3\pi}{2}\leq x+y \leq 2\pi } \, \cos(x+y) \mathrm{d}x\mathrm{d}y</math> האינטגרל הראשון הוא: <math> \iint \limits_{0\leq x+y \leq \frac{\pi}{2}} \, \cos(x+y) \mathrm{d}x\mathrm{d}y= \int _0 ^\frac{\pi}{2} \, \int_0^{\frac{\pi}{2}-x} \, \cos(x+y) \mathrm{d}y \mathrm{d}x= \int _0 ^\frac{\pi}{2} \, \sin(x+y) \mid_0^{\frac{\pi}{2}-x} \mathrm{d}x </math> <math>= \int _0 ^\frac{\pi}{2} \, 1 - \sin(x) \mathrm{d}x = x+\cos(x) \mid_0 ^\frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} - 1</math> באופן דומה האינטגרל השלישי הוא: <math> \iint \limits_{\frac{3\pi}{2}\leq x+y \leq 2\pi } \, \cos(x+y) \mathrm{d}x\mathrm{d}y= \int _\frac{\pi}{2} ^{\pi} \, \int_{\frac{3\pi}{2}-x}^{\pi} \, \cos(x+y) \mathrm{d}y\mathrm{d}x= \int _\frac{\pi}{2} ^{\pi} \, \sin(x+y) \mid_{\frac{3\pi}{2}-x}^{\pi} \mathrm{d}x </math> <math>=</math>