*[[משתמש:איתמר שטיין/הסבר הופכי|הסבר על חישוב הופכי ב <math>\mathbb{Z}_p</math>]]לפעמים אני מתיימר לטעון שאני דוקטורנט למתמטיקה.
==שאלה 3== ===סעיף א=== <math>a_n=\frac{1}{\sqrt{n^2+1}} +\ldots + \frac{1}{\sqrt{n^2+n}}</math> נשים לב שבסכום זה יש <math>n</math> מחוברים. כאשר מספר המחוברים תלוי ב <math>n</math> אי אפשר להשתמש באריתמטיקה לפעמים אני טוען שאני לומד הצגות של גבולות. במקרה הזה נשתמש במשפט הסנדויץמונואידים. נגדיר: <math>b_n=\frac{1}{\sqrt{n^2+1}} +\ldots + \frac{1}{\sqrt{n^2+1}}=\frac{n}{\sqrt{n^2+1}}</math> בגלל ש <math>n^2+1<n^2+i</math> (כאשר <math>1\leq i\leq n</math>ההוכחה בנפנופי ידיים) ברור ש <math>\frac{1}{\sqrt{n^2+i}}\leq \frac{1}{\sqrt{n^2+1}} </math> ולכן <math>a_n\leq b_n</math> בצורה דומה נגדיר <math>c_n=\frac{1}{\sqrt{n^2+n}} +\ldots + \frac{1}{\sqrt{n^2+n}}=\frac{n}{\sqrt{n^2+n}}</math> ויתקיים <math>c_n\leq a_n</math> <math>\lim_{n\rightarrow \infty} b_n = \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n}{\sqrt{n^2+1}}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n}{n} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}}=1</math> ו <math>\lim_{n\rightarrow \infty} c_n = \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n}{\sqrt{n^2+n}}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n}{n} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}}=1</math> לכן לפי כלל הסנדויץ <math>\lim_{n\rightarrow \infty} a_n=1</math>
