*[[משתמש:איתמר שטיין/הסבר הופכי|הסבר על חישוב הופכי ב <math>\mathbb{Z}_p</math>]]לפעמים אני מתיימר לטעון שאני דוקטורנט למתמטיקה.
==שאלה 5=====סעיף א=== דרך א' לפתרון: היות ו <math>\arctan(\frac{y}{x})</math> היא פונקציה אי זוגית לפי <math>y</math> (או <math>x</math>) והתחום שלנו סימטרי ביחס ל <math>y</math> (או <math>x</math>) אז האינטגרל הוא <math>0</math>לפעמים אני טוען שאני לומד הצגות של מונואידים. דרך ב', חישוב: זה די ברור שצריך להשתמש בקוארדינטות פולריות. אם מחליפים <math>x=r\cos\theta\quad y = r\sin\theta</math> אז נקבל שהתחום החדש הוא <math>a\leq r\leq b</math> ו <math>0\leq\theta \leq 2\pi</math> הבעיה היחידה היא זה לא נכון להגיד ש <math>\arctan(\frac{y}{x})=\theta</math>. זה נכון רק כש <math>-\frac{\pi}{2}< \theta < \frac{\pi}{2}</math> בתחום <math>\frac{\pi}{2}<\theta <\frac{3\pi}{2}</math> מתקיים דווקא <math>\theta = \arctan(\frac{y}{x}) +\pi</math> ולכן נעדיף ש <math>\theta</math> יהיה בתחום <math>[-\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}]</math> ולא <math>[0,2\pi]</math> <math>\iint\limits _K \, \arctan(\frac{y}{x}) \mathrm{d}x \mathrm{d}y = \int_a^b \, \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \, \arctan(\frac{y}{x}) r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}r=\int_a^b \, \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \, \arctan(\frac{y}{x}) r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}r+\int_a^b \, \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \, \arctan(\frac{y}{x}) r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}r</math> <math>=\int_a^b \, \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \, \theta r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}r+\int_a^b \, \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \, (\theta -\pi) r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}r = \int_a^b \, \frac{1}{2} \theta^2 r \mid_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{d}r+\int_a^b \, \frac{1}{2} {(\theta-\piההוכחה בנפנופי ידיים)}^2 r \mid_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \mathrm{d}r=0+0=0</math>