*[[משתמש:איתמר שטיין/הסבר הופכי|הסבר על חישוב הופכי ב <math>\mathbb{Z}_p</math>]]לפעמים אני מתיימר לטעון שאני דוקטורנט למתמטיקה.
==שאלה 5== ===סעיף א=== כמו תמיד בחישוב אינטגרל לפעמים אני טוען שאני לומד הצגות של ערך מוחלט, צריך לפצל לתחום שבו הפונקציה חיובית ותחום שבו היא שליליתמונואידים. במקרה שלנו <math>\cos(\thetaההוכחה בנפנופי ידיים)</math> היא חיובית כאשר <math>0\leq\theta \leq \frac{\pi}{2}</math> וכאשר <math>\frac{3\pi}{2} \leq\theta \leq 2\pi </math>ושלילית כאשר <math>\frac{\pi}{2}\leq\theta \leq \frac{3\pi}{2}</math> כלומר <math>\int _0 ^\pi \, \int_0^\pi \, |\cos(x+y)| \mathrm{d}x\mathrm{d}y= \iint \limits_{0\leq x+y \leq \frac{\pi}{2}} \, \cos(x+y) \mathrm{d}x\mathrm{d}y-\iint \limits_{\frac{\pi}{2}\leq x+y \leq \frac{3\pi}{2}} \, \cos(x+y) \mathrm{d}x\mathrm{d}y+\iint \limits_{\frac{3\pi}{2}\leq x+y \leq 2\pi } \, \cos(x+y) \mathrm{d}x\mathrm{d}y</math> האינטגרל הראשון הוא: <math> \iint \limits_{0\leq x+y \leq \frac{\pi}{2}} \, \cos(x+y) \mathrm{d}x\mathrm{d}y= \int _0 ^\frac{\pi}{2} \, \int_0^{\frac{\pi}{2}-x} \, \cos(x+y) \mathrm{d}y \mathrm{d}x= \int _0 ^\frac{\pi}{2} \, \sin(x+y) \mid_0^{\frac{\pi}{2}-x} \mathrm{d}x </math> <math>= \int _0 ^\frac{\pi}{2} \, 1 - \sin(x) \mathrm{d}x = x+\cos(x) \mid_0 ^\frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} - 1</math> באופן דומה האינטגרל השלישי הוא: <math> \iint \limits_{\frac{3\pi}{2}\leq x+y \leq 2\pi } \, \cos(x+y) \mathrm{d}x\mathrm{d}y= \int _\frac{\pi}{2} ^{\pi} \, \int_{\frac{3\pi}{2}-x}^{\pi} \, \cos(x+y) \mathrm{d}y\mathrm{d}x= \int _\frac{\pi}{2} ^{\pi} \, \sin(x+y) \mid_{\frac{3\pi}{2}-x}^{\pi} \mathrm{d}x </math> <math>= \int _\frac{\pi}{2} ^{\pi} \, \sin(x+\pi) +1 \mathrm{d}x = -\cos(x+\pi)+x \mid_\frac{\pi}{2} ^{\pi} = -1+\pi - \frac{\pi}{2}= -1+ \frac{\pi}{2}</math> את האינטגרל השני צריך לפצל <math>\iint \limits_{\frac{\pi}{2}\leq x+y \leq \frac{3\pi}{2}} \, \cos(x+y) \mathrm{d}x\mathrm{d}y=\int _0 ^{\frac{\pi}{2}} \, \int_{\frac{\pi}{2}-x}^{\pi} \, \cos(x+y) \mathrm{d}y\mathrm{d}x+\int _\frac{\pi}{2} ^{\pi} \, \int_0^{\frac{3\pi}{2}-x} \, \cos(x+y) \mathrm{d}y\mathrm{d}x</math> <math>=\int _0 ^{\frac{\pi}{2}} \, \sin(x+y) \mid_{\frac{\pi}{2}-x}^{\pi} \mathrm{d}x+\int _\frac{\pi}{2} ^{\pi} \, \sin(x+y) \mid_0^{\frac{3\pi}{2}-x} \mathrm{d}x=\int _0 ^{\frac{\pi}{2}} \, \sin(x+\pi) - 1 \mathrm{d}x\int _\frac{\pi}{2} ^{\pi} \, -1 -\sin(x) \mathrm{d}x</math> <math>=-\cos(x+\pi) - x \mid_0 ^{\frac{\pi}{2}}+-x +\cos(x) \mid_\frac{\pi}{2} ^{\pi}=-\frac{\pi}{2}-1 -\pi -1 + \frac{\pi}{2} = -2-\pi</math> לכן הפתרון בסך הכל הוא: <math>\frac{\pi}{2}-1 +2+\pi +\frac{\pi}{2}-1=2\pi</math>
