ולכן <math>f</math> דיפרנציאבילית ב <math>(0,0,0)</math>.
==שאלה 3==
<math>x^2+y^2=\frac{1}{2}z^2</math>
<math>x+y+z=2</math>
הנגזרות החלקיות של הפונקציות
<math>f_1(x,y,z)=x^2+y^2-\frac{1}{2}z^2=0</math>
<math>f_2(x,y,z)=x+y+z-2=0</math>
קיימות עד איזה סדר שרוצים.
כמו כן, הנקודה <math>(1,-1,2)</math> מקיימת את מערכת המשוואות.
נבדוק את התנאי של משפט הפונקציה הסתומה
<math>\begin{bmatrix}
\frac{\partial f_1}{\partial x} & \frac{\partial f_1}{\partial y} \\
\frac{\partial f_2}{\partial x} & \frac{\partial f_2}{\partial y} \end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
2x & 2y \\
1 & 1 \end{bmatrix}
</math>
בנקודה <math>(1,-1,2)</math> נקבל את המטריצה
<math>
\begin{bmatrix}
2 & -2 \\
1 & 1 \end{bmatrix}
</math>
שהיא מטריצה הפיכה.
לכן לפי משפט הפונקציה הסתומה, אכן מוגדרות פונקציות של
<math>x,y</math> לפי <math>z</math>
לפי משפט הפונקציה הסתומה, קיימת סביבה של הנקודה
<math>(1,-1,2)</math> שבה מתקיים:
<math>
\begin{bmatrix}
\frac{\partial f_1}{\partial x} & \frac{\partial f_1}{\partial y} \\
\frac{\partial f_2}{\partial x} & \frac{\partial f_2}{\partial y} \end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\frac{dx}{dz} \\
\frac{dy}{dz}
\end{bmatrix}
=
-\begin{bmatrix}
\frac{\partial f_1}{\partial z} \\
\frac{\partial f_1}{\partial z} \end{bmatrix}
</math>
כלומר במקרה שלנו:
<math>\begin{bmatrix}
2x & 2y \\
1 & 1 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\frac{dx}{dz} \\
\frac{dy}{dz}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
z \\
-1 \end{bmatrix}
</math>
אם פותרים את המשוואות
רואים ש
<math>
\begin{bmatrix}
\frac{dx}{dz} \\
\frac{dy}{dz}
\end{bmatrix}
=
\frac{1}{2x-2y}
\begin{bmatrix}
1 & -2y \\
-1 & 2x \end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
z \\
-1 \end{bmatrix}
</math>
כלומר:
<math>\frac{dx}{dz} = \frac{z+2y}{2x-2y},\quad \frac{dy}{dz}=\frac{-z-2x}{2x-2y} </math>
מכאן, על ידי הצבה של <math>(1,-1,2)</math> קל לראות שבנקודה <math>z=2</math> מתקיים
<math>\frac{dx}{dz}(2)=0,\quad \frac{dy}{dz}(2)=-1</math>
כמו כן נחשב את <math>x''(z)</math> בסביבה של <math>(1,-1,2)</math> על ידי גזירה רגילה לפי <math>z</math> (אבל נשים לב ש <math>x,y</math> הם פונקציות של <math>z</math>):
<math>x''(z)=\frac{(1+2y')(2x-2y)-(z+2y)(2x'-2y')}{(2x-2y)^2}</math>
נציב <math>x=1,y=-1,z=2,x'=0,y'=-1</math> ונקבל:
<math>x''(2)=\frac{(1-2)4-(0)(0+2)}{16}=-\frac{1}{4}</math>