==שאלה 5=סעיף ב===נשים לב ש <math>\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f(x_i)</math> זה ממוצע של הערכים <math>f(x_1),\ldots , f(x_n)</math> מבין הערכים האלה חייב להיות מינימום ומקסימום. כלומר קיימים <math>i_0,i_1</math> עבורם <math>f(x_{i_0})=\min\{f(x_1),\ldots , f(x_n)\},\quad f(x_{i_1})=\max\{f(x_1),\ldots , f(x_n)\}</math> ואז נקבל <math>\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f(x_i)\leq \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f(x_{i_1}) = f(x_{i_1})</math> ובאופן דומה <math>\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f(x_i)\geq \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f(x_{i_0}) = f(x_{i_0})</math> נניח בלי הגבלת כלליות ש<math>x_{i_0}<x_{i_1}</math> ראינו שהערך <math>\sum_{i=1}^n f(x_i)</math> נמצא בין <math>f(x_{i_0})</math> ל <math>f(x_{i_1})</math> וברור ש <math>f</math>רציפה על<math>[x_{i_0},x_{i_1}]</math> לכן לפי משפט ערך הביניים קיים <math>c\in (x_{i_0},x_{i_2})\subseteq (a,b)</math> כך ש: <math>f(c)=\sum_{i=1}^n f(x_i)</math> וזה מראה את מה שנדרש