הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:איתמר שטיין/הסבר הופכי"
איתמר שטיין (שיחה | תרומות) (←חישוב ההפכי) |
איתמר שטיין (שיחה | תרומות) (←דוגמא) |
||
שורה 95: | שורה 95: | ||
== דוגמא == | == דוגמא == | ||
− | מצא את | + | מצא את ההופכי של <math>27</math> ב <math>\mathbb{Z}_{101}</math>. |
+ | |||
+ | נחשב | ||
+ | |||
+ | <math>101-3\cdot 27=20</math> | ||
+ | |||
+ | <math>27-20=7</math> | ||
+ | |||
+ | <math>20-2\cdot7 = 6</math> | ||
+ | |||
+ | <math>7-6=1</math> | ||
+ | |||
+ | עכשיו נחשב אחורה | ||
+ | |||
+ | <math>3\cdot 7-20=1 \Leftarrow 7-(20-2\cdot 7)=1</math> | ||
+ | |||
+ | <math>3\cdot 27 - 4\cdot 20=1 \Leftarrow 3 \cdot (27-20)-20=1</math> | ||
+ | |||
+ | <math>15\cdot 27 - 4\cdot 101=1 \Leftarrow 3\cdot 27 - 4\cdot(101-3\cdot 27)</math>. | ||
+ | |||
+ | לכן ההופכי של 27 ב <math>\mathbb{Z}_{101}</math> הוא 15. |
גרסה מ־19:22, 11 ביולי 2012
כאשר אנו מבצעים חישובים בשדה (נזכור ש חייב להיות ראשוני), אנו נדרשים לפעמים לחשב הופכי לאיבר מסוים בשדה.
שיטה אחת לבצע זאת היא ע"י ניחוש, אם אז יש איברים שיכולים להיות הופכי:
(למעשה יש פחות, כי לעולם לא יהיה הופכי ו הופכי רק ב)
אפשר פשוט לנסות את כל האפשרויות עד שמוצאים הופכי.
שיטה זו טובה לשדות קטנים, אבל מה עושים אם רוצים למצוא הופכי ב ? בשיטה הזאת נצטרך לנסות 99 אפשרויות.
כדי להסביר איך מוצאים הופכי ב נצטרך להביא כמה הקדמות מתורת המספרים.
כמה מושגים בתורת המספרים
הגדרה: יהיו אומרים ש מחלק את (ומסמנים ) אם קיים כך ש .
הגדרה: יהיו המחלק המשותף המירבי של (מסומן ) הוא המספר הגדול ביותר שמחלק גם את וגם את .
כלומר
ההגדרה הזאת בעייתית כאשר במצב זה אומרים ש .
נשים לב שאם מספר ראשוני ו אז
משפט: יהיו ו אזי קיימים כך ש .
הערה: נשים לב כי באמצעות משפט זה ניתן להוכיח את קיום ההופכי ב , כי אם אז
לכן קיימים כך ש .
אם נפעיל על שני צידי המשוואה הזאת נקבל שהופך ל לכן הוא הפכי מתאים ל .
כל זה טוב ויפה, אבל איך מוצאים את ?
חישוב ההופכי
עבור שני מספרים כך ש נתאר שיטה שבעזרתה ניתן למצוא את המספרים כך ש .
נתחיל מהמקרה
נניח ש , נסמן .
(אם אז נסמן הפוך)
נחפש את המספר הגדול ביותר כך ש .
ונסמן .
כעת נחפש את המספר הגדול ביותר כך ש
ונסמן .
נמשיך כך עד שנגיע לשלב שבו .
עד כאן החלק הקל,
עכשיו צריך להתחיל חישוב אחורה
אבל בשלב הקודם קיבלנו ש
לכן אפשר להציב
שהופך ל:
אבל שוב, בשלב קודם ראינו ש ואפשר להציב את התוצאה ב שמופיע בביטוי ולקבל ביטוי מהצורה
וכן הלאה עד שנגיע לביטוי מהצורה
שזה בדיוק .
אם אז מוצאים מתאימים עבור
ואז אז פשוט לוקחים את .
דוגמא
מצא את ההופכי של ב .
נחשב
עכשיו נחשב אחורה
.
לכן ההופכי של 27 ב הוא 15.