הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:איתמר שטיין/הסבר הופכי"
איתמר שטיין (שיחה | תרומות) (←חישוב ההופכי) |
איתמר שטיין (שיחה | תרומות) (←חישוב ההופכי) |
||
שורה 60: | שורה 60: | ||
נמשיך כך עד שנגיע לשלב <math>k</math> שבו <math>r_k=1</math>. | נמשיך כך עד שנגיע לשלב <math>k</math> שבו <math>r_k=1</math>. | ||
+ | |||
+ | (היות ו <math>gcd(a,b)=1</math> מובטח לנו שנגיע מתישהוא ל <math>1</math>) | ||
שורה 98: | שורה 100: | ||
אם <math>b<0</math> לוקחים <math>m=-m'</math> (אחרת <math>m=m'</math>) | אם <math>b<0</math> לוקחים <math>m=-m'</math> (אחרת <math>m=m'</math>) | ||
− | * אם <math>a=0</math> הסיכוי היחיד ש <math>gcd(a,b)=1</math> זה אם <math>b=1</math> וזה מקרה פשוט | + | |
+ | * אם <math>a=0</math> הסיכוי היחיד ש <math>gcd(a,b)=1</math> זה אם <math>b=1</math> או <math>b=-1</math> וזה מקרה פשוט | ||
כנ"ל אם <math>b=0</math> | כנ"ל אם <math>b=0</math> |
גרסה מ־17:52, 12 ביולי 2012
כאשר אנו מבצעים חישובים בשדה (נזכור ש חייב להיות ראשוני), אנו נדרשים לפעמים לחשב הופכי לאיבר מסוים בשדה.
שיטה אחת לבצע זאת היא ע"י מעבר על כל האפשרויות, אם אז יש איברים שיכולים להיות הופכי:
(למעשה יש פחות, כי לעולם לא יהיה הופכי ו הופכי רק ב)
אפשר פשוט לנסות את כל האפשרויות עד שמוצאים הופכי.
שיטה זו טובה לשדות קטנים, אבל מה עושים אם רוצים למצוא הופכי ב ? בשיטה הזאת נצטרך לנסות 99 אפשרויות.
כדי להסביר איך מוצאים הופכי ב נצטרך להביא כמה הקדמות מתורת המספרים.
כמה מושגים בתורת המספרים
הגדרה: יהיו אומרים ש מחלק את (ומסמנים ) אם קיים כך ש .
הגדרה: יהיו המחלק המשותף המירבי של (מסומן ) הוא המספר הגדול ביותר שמחלק גם את וגם את .
כלומר
ההגדרה הזאת בעייתית כאשר במצב זה אומרים ש .
נשים לב שאם מספר ראשוני ו אז
משפט: יהיו ו אזי קיימים כך ש .
הערה: נשים לב כי באמצעות משפט זה ניתן להוכיח את קיום ההופכי ב , כי אם אז
לכן קיימים כך ש .
אם נפעיל על שני צידי המשוואה הזאת נקבל שהופך ל לכן הוא הפכי מתאים ל .
כל זה טוב ויפה, אבל איך מוצאים את ?
חישוב ההופכי
עבור שני מספרים כך ש נתאר שיטה שבעזרתה ניתן למצוא את המספרים כך ש .
- נתחיל מהמקרה
נניח ש , נסמן .
(אם אז נסמן הפוך)
נחפש את המספר הגדול ביותר כך ש .
ונסמן .
כעת נחפש את המספר הגדול ביותר כך ש
ונסמן .
נמשיך כך עד שנגיע לשלב שבו .
(היות ו מובטח לנו שנגיע מתישהוא ל )
עד כאן החלק הקל,
עכשיו צריך להתחיל חישוב אחורה
אבל בשלב הקודם קיבלנו ש
לכן אפשר להציב
שהופך ל:
אבל שוב, בשלב קודם ראינו ש ואפשר להציב את התוצאה ב שמופיע בביטוי ולקבל ביטוי מהצורה
וכן הלאה עד שנגיע לביטוי מהצורה
שזה בדיוק .
- אם או אז מוצאים מתאימים עבור
ואז ואז
אם לוקחים (אחרת )
אם לוקחים (אחרת )
- אם הסיכוי היחיד ש זה אם או וזה מקרה פשוט
כנ"ל אם
דוגמא
מצא את ההופכי של ב .
נחשב
עכשיו נחשב אחורה
.
לכן ההופכי של 27 ב הוא 15.