שינויים
/* סרטוני ותקציר הרצאות */
=סרטוני ותקציר הרצאות=
[https://www.youtube.com/playlist?list=PLHinTfsAOC-vhY2xtz4MJzkm5tefKT3Dg פלייליסט של כל הסרטונים]
==פרק 1 - מבוא ללוגיקה מתמטית==
===פסוקים, קשרים, כמתים, פרדיקטים===
**איבר <math>m\in A</math> נקרא '''מינימלי''' בA אם לכל <math>a\in A</math> המקיים <math>aRm</math> מתקיים כי <math>a=m</math> (אין קטנים ממנו)
**איבר <math>M\in A</math> נקרא '''הגדול ביותר''' (מקסימום) בA אם לכל <math>a\in A</math> מתקיים <math>aRM</math> (הוא גדול מכולם)
**איבר <math>m\in A</math> נקרא '''הקטן ביותר''' (מקסימוםמינימום) בA אם לכל <math>a\in A</math> מתקיים <math>mRa</math> (הוא קטן מכולם)
**איבר <math>M\in X</math> נקרא '''חסם מלעיל''' של A אם לכל <math>a\in A</math> מתקיים <math>aRM</math> (הוא גדול מכל איברי הקבוצה, אבל לאו דווקא נמצא בקבוצה)
**איבר <math>m\in X</math> נקרא '''חסם מלרע''' של A אם לכל <math>a\in A</math> מתקיים <math>mRa</math> (הוא קטן מכל איברי הקבוצה, אבל לאו דווקא נמצא בקבוצה)
*אם חסם מלעיל שייך לקבוצה, אז הוא הגדול ביותר.
*האיבר הגדול ביותר בקבוצה הוא איבר מקסימלי, ואין איברים מקסימליים אחרים.
*האם תתכן קבוצה עם איבר מקסימלי יחיד שאינו האיבר הגדול ביותר בקבוצה?
*ביחס ההכלה על קבוצת חזקה, האיחוד הכללי של קבוצת קבוצות הוא החסם העליון שלה, והחיתוך הכללי הוא החסם התחתון.
*ביחס 'מחלק את' על הטבעיים, המחלק המשותף המקסימלי הוא החסם התחתון, והמכפלה המשותפת המינימלית הוא החסם העליון.
<videoflash>EX6sPaiiu3k</videoflash>
====שרשראות====
*יחס סדר חלקי R על A נקרא '''מלא''' (או לינארי, או קווי) אם:
**<math>\forall a,b\in A:aRb\or bRa</math>
*יהי R יחס סדר חלקי על A, ותהי <math>S\subseteq A</math>.
*אזי <math>S</math> נקראת '''שרשרת''' אם היחס מלא עליה, כלומר <math>\forall a,b\in S:aRb\or bRa</math>
====תרגול====
(בהנחת עקרון המקסימום של האוסדורף)
*תהי A קבוצה אינסופית, אזי <math>\aleph_0\leq |A|</math>
<videoflash>W4see8tTArk</videoflash>
*ולכן לפי משפט ק.ש.ב נקבל כי
**<math>a+b=a\cdot b = b</math>
*דוגמא - מה היא עוצמת קבוצת המספרים האי-רציונאליים?
*<math>\mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup (\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})</math> (איחוד זר כמובן)
*לכן <math>|\mathbb{R}|=|\mathbb{Q}|+ |(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})|</math>
*לכן <math>\aleph=\aleph_0 +|(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})|</math>
*לפי המשפט לעיל, סכום העוצמות הוא העוצמה הגדולה מבין השתיים.
*כיוון ש <math>\aleph\neq \aleph_0</math> נקבל כי <math>|(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})|=\aleph</math>
<videoflash>Ty-lY6-uRPo</videoflash>
