שינויים
/* חומר עזר */
*[[מדיה:16BdidaOrit.pdf|סיכומי ההרצאות של ד״ר ארז שיינר, ע״י אורית חסון, קיץ 2016]]
*[[מבחנים בבדידה]]
*[[בחנים בבדידה]]
*[[מבחנים בקורס בדידה למורים]] - שימו לב, הקורס למורים מכיל משמעותית פחות חומר, והמבחנים קלים יותר. יחד עם זאת, יש שם כמות גדולה של תרגילים רלוונטיים ברמה נמוכה.
=סרטוני ותקציר הרצאות=
[https://www.youtube.com/playlist?list=PLHinTfsAOC-vhY2xtz4MJzkm5tefKT3Dg פלייליסט של כל הסרטונים]
==פרק 1 - מבוא ללוגיקה מתמטית==
===פסוקים, קשרים, כמתים, פרדיקטים===
===אינדוקציה===
*משפט האינדוקציה המתמטית
*תהי סדרת טענות כך שמתקיימים שני התנאים הבאים:
**הטענה הראשונה נכונה.
**לכל <math>n\in \mathbb{N}</math> אם הטענה הn מתקיימת אז גם הטענה הn+1 מתקיימת.
*אזי כל הטענות בסדרה נכונות
<videoflash>n6xkPhKmhQo</videoflash>
*דוגמא:
*<math>\sum_{k=1}^{2^{n-1}}\frac{1}{k} > \frac{n}{2}</math>
*אינדוקציה שלמה (מלאה)
*תהי סדרת טענות כך ש:
**לכל <math>n\in \mathbb{N}</math> אם כל הטענות עד ולא כולל הטענה הn מתקיימות, אזי גם הטענה הn מתקיימת.
*אזי כל הטענות בסדרה מתקיימות.
*שימו לב: לפני הטענה הראשונה אין טענות, ולכן כולן מתקיימות באופן ריק. כלומר מנוסח התנאי נובע שצריך להוכיח שהטענה הראשונה מתקיימת.
<videoflash>BBUxvnjuA04</videoflash>
*פרדוקס הסוסים (או פתיתי השלג)
<videoflash>E0rf-Cg3IVM</videoflash>
====תרגול====
*[[88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 1.5|תרגול בנושא אינדוקציה]]
*[[מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/4|תרגילי אינדוקציה נוספים]] ו[[מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/4/פתרון 4|פתרונםפתרונותיהם]]
==פרק 2 - מבוא לתורת הקבוצות==
===קבוצות ופעולות על קבוצות===
*איבר שייך לקבוצה <math>a\in A</math> אם הוא אחד האיברים בקבוצה.
*קבוצה מוכלת בקבוצה אחרת <math>A\subseteq B</math> אם <math>\forall a\in A : a\in B</math>
*<math>\{1,2\}=\{2,1\}</math>
*<math>\{1,1,2\}=\{1,2\}</math>
*תהי קבוצה <math>U</math> ותהיינה <math>A,B\subseteq U</math>. נגדיר את:
**קבוצת האיחוד <math>A\cup B =\{ x\in U:x\in A \or x\in B\}</math>
**קבוצת החיתוך <math>A\cap B =\{ x\in U:x\in A \and x\in B\}</math>
**קבוצת ההפרש <math>A\setminus B =\{ x\in U:x\in A \and x\not\in B\}</math>
**קבוצת ההפרש הסימטרי <math>A\Delta B = (A\setminus B)\cup (B\setminus A)</math>
**קבוצת המשלים <math>\overline{A}=\{x\in U:x\not\in A\}</math>
<videoflash>UgNl63BrzCM</videoflash>
*[[שיטות הוכחה בסיסיות]]
*הוכחת טענות מכומתות - טענות 'לכל' וטענות 'קיים'
<videoflash>QIwz6eyrcuI</videoflash>
*הוכחת הכלה בין קבוצות, ושיוויון בין קבוצות
<videoflash>Dts0NamGWbE</videoflash>
===איחוד וחיתוך כלליים===
*תהי S קבוצה של קבוצות, נגדיר:
**<math>\cup_{A\in S}A = \{x|\exists A\in S :x\in A\}</math>
**<math>\cap_{A\in S}A = \{x|\forall A\in S :x\in A\}</math>
<videoflash>xP9VIaCCH7A</videoflash>
===קבוצת החזקה===
*<math>X\in P(A) \iff X\subseteq A</math>
<videoflash>uZVMvwbs5kw</videoflash>
===מכפלה קרטזית ויחסים===
<videoflash>wyDw5XXmPp8</videoflash>
====תכונות של יחסים====
*יהי R יחס על A (כלומר <math>R\subseteq A\times A</math>) אזי:
**R נקרא רפלקסיבי אם לכל <math>a\in A</math> מתקיים <math>aRa</math>.
**R נקרא סימטרי אם לכל <math>a,b\in A</math> המקיימים <math>aRb</math> מתקיים <math>bRa</math>
**R נקרא אנטי-סימטרי אם לכל <math>a,b\in A</math> המקיימים <math>aRb\and bRa</math> מתקיים <math>a=b</math>
**R נקרא טרנזיטיבי אם לכל <math>a,b,c\in A</math> המקיימים <math>aRb \and bRc</math> מתקיים <math>aRc</math>
**R נקרא מלא אם לכל <math>a,b\in A</math> מתקיים כי <math>aRb\or bRa</math>
*יהי R יחס מA לB (כלומר <math>R\subseteq A\times B</math>) אזי:
**R נקרא חד-ערכי (ח"ע) אם לכל <math>a\in A</math> ולכל <math>b_1,b_2\in B</math> המקיימים <math>aRb_1 \and aRb_2</math> מתקיים <math>b_1=b_2</math>
**R נקרא שלם אם לכל <math>a\in A</math> קיים <math>b\in B</math> כך ש <math>aRb</math>
**R נקרא חד-חד-ערכי (חח"ע) אם לכל <math>a_1,a_2\in A</math> ולכל <math>b\in B</math> המקיימים <math>a_1Rb\and a_2Rb</math> מתקיים <math>a_1=a_2</math>
**R נקרא על אם לכל <math>b\in B</math> קיים <math>a\in A</math> כך ש <math>aRb</math>
===יחסי שקילות===
*יחס R על קבוצה A נקרא '''יחס שקילות''' אם הוא רפלקסיבי, סימטרי וטרנזיטיבי.
*יהי R יחס שקילות על A.
*לכל <math>a\in A</math> מוגדרת קבוצת '''מחלקת השקילות של a''' ע"י:
**<math>[a]_R=\{x\in A|aRx\}</math>
*קבוצת כל קבוצות מחלקות השקילות נקראת '''קבוצת המנה''':
**<math>A/R=\{[a]_R:a\in A\}</math>
*תהי קבוצה A. קבוצת תתי קבוצות <math>U\subseteq P(A)</math> נקראת '''חלוקה''' של A אם:
**<math>\cup_{X\in U}X=A</math>
**<math>\emptyset\notin U</math>
**לכל <math>X_1,X_2\in U</math> אם <math>X_1\cap X_2\neq \emptyset</math> אזי <math>X_1=X_2</math>
*היחס המושרה מחלוקה:
*תהי קבוצה A ותהי חלוקה שלה U. נגדיר יחס R על A על ידי:
**<math>aRb</math> אם ורק אם קיימת <math>X\in U</math> כך ש<math>a,b\in X</math>
*היחס המושרה מחלוקה הוא יחס שקילות.
*קבוצת המנה היא חלוקה של A.
*היחס המושרה מקבוצת המנה, הוא יחס השקילות המקורי; קבוצת המנה של יחס שקילות מושרה היא החלוקה המקורית.
<videoflash>jKprPSfRysE</videoflash>
====תרגול====
===יחסי סדר===
*יחס R על קבוצה A נקרא '''יחס סדר חלקי''' אם הוא רפלקסיבי, אנטי-סימטרי וטרנזיטיבי
<videoflash>6X0OGf5CJrU</videoflash>
====איברים מינימליים ומקסימליים, וחסמים====
*יהי R יחס סדר חלקי על קבוצה X, ותהי <math>A\subseteq X</math> תת קבוצה.
**איבר <math>M\in A</math> נקרא '''מקסימלי''' בA אם לכל <math>a\in A</math> המקיים <math>MRa</math> מתקיים כי <math>a=M</math> (אין גדולים ממנו)
**איבר <math>m\in A</math> נקרא '''מינימלי''' בA אם לכל <math>a\in A</math> המקיים <math>aRm</math> מתקיים כי <math>a=m</math> (אין קטנים ממנו)
**איבר <math>M\in A</math> נקרא '''הגדול ביותר''' (מקסימום) בA אם לכל <math>a\in A</math> מתקיים <math>aRM</math> (הוא גדול מכולם)
**איבר <math>m\in A</math> נקרא '''הקטן ביותר''' (מינימום) בA אם לכל <math>a\in A</math> מתקיים <math>mRa</math> (הוא קטן מכולם)
**איבר <math>M\in X</math> נקרא '''חסם מלעיל''' של A אם לכל <math>a\in A</math> מתקיים <math>aRM</math> (הוא גדול מכל איברי הקבוצה, אבל לאו דווקא נמצא בקבוצה)
**איבר <math>m\in X</math> נקרא '''חסם מלרע''' של A אם לכל <math>a\in A</math> מתקיים <math>mRa</math> (הוא קטן מכל איברי הקבוצה, אבל לאו דווקא נמצא בקבוצה)
**אם בקבוצת חסמי המלעיל של A יש איבר קטן ביותר הוא נקרא '''חסם עליון''' (supremum) של A.
**אם בקבוצת חסמי המלרע של A יש איבר גדול ביותר הוא נקרא '''חסם תחתון''' (infimum) של A.
*איבר גדול ביותר ביותר הוא יחיד.
*אם חסם מלעיל שייך לקבוצה, אז הוא הגדול ביותר.
*האיבר הגדול ביותר בקבוצה הוא איבר מקסימלי, ואין איברים מקסימליים אחרים.
*האם תתכן קבוצה עם איבר מקסימלי יחיד שאינו האיבר הגדול ביותר בקבוצה?
*ביחס ההכלה על קבוצת חזקה, האיחוד הכללי של קבוצת קבוצות הוא החסם העליון שלה, והחיתוך הכללי הוא החסם התחתון.
*ביחס 'מחלק את' על הטבעיים, המחלק המשותף המקסימלי הוא החסם התחתון, והמכפלה המשותפת המינימלית הוא החסם העליון.
<videoflash>EX6sPaiiu3k</videoflash>
====שרשראות====
*יחס סדר חלקי R על A נקרא '''מלא''' (או לינארי, או קווי) אם:
**<math>\forall a,b\in A:aRb\or bRa</math>
*יהי R יחס סדר חלקי על A, ותהי <math>S\subseteq A</math>.
*אזי <math>S</math> נקראת '''שרשרת''' אם היחס מלא עליה, כלומר <math>\forall a,b\in S:aRb\or bRa</math>
====תרגול====
==פרק 4 - פונקציות==
===הגדרת פונקציות===
*יחס f מA לB נקרא פונקציה אם הוא ח"ע ושלם, ומסמנים במקרה זה <math>f:A\to B</math>, וכן <math>f(a)=b\iff (a,b)\in f</math>.
*A נקרא תחום הפונקציה (או תחום הגדרה), B נקרא הטווח של הפונקציה.
*שימו לב, הסרטון ישן, ושם פונקציה הוגדרה כיחס ח"ע בלבד, בניגוד להגדרה העדכנית שלנו בקורס.
<videoflash>XP-SwmSlTUc</videoflash>
===חח"ע ועל, תמונה ותמונה הפוכה===
*תהי <math>f:A\to B</math> פונקציה. אזי:
**f חח"ע אם לכל <math>x_1,x_2\in A</math> המקיימים <math>f(x_1)=f(x_2)</math> מתקיים כי <math>x_1=x_2</math>
**f על אם לכל <math>y\in B</math> קיים <math>x\in A</math> כך ש<math>f(x)=y</math>
**תהי <math>X\subseteq A</math> נגדיר את קבוצת התמונה <math>f[X]=\{f(a)|a\in X\}</math>
**תהי <math>Y\subseteq B</math> נגדיר את קבוצת התמונה ההפוכה <math>f^{-1}[Y]=\{a\in A|f(a)\in Y\}</math>
**<math>f[]:P(A)\to P(B)</math> היא פונקצית התמונה, השולחת כל תת קבוצה לקבוצת התמונה שלה
**<math>f^{-1}[]:P(B)\to P(A)</math> היא פונקצית התמונה ההפוכה, השולחת כל תת קבוצה לקבוצת התמונה ההפוכה שלה
*שימו לב
**<math>x\in f^{-1}[Y]\iff f(x)\in Y</math>
**<math>y\in f[X] \iff \exist a\in X :f(a)=y </math>
<videoflash>BgCrOeJEjDo</videoflash>
===הרכבת פונקציות, פונקציות הפיכות===
*תהיינה <math>f:A\to B</math> וכן <math>g:B\to C</math> אזי נגדיר את פונקצית ההרכבה <math>g\circ f:A\to C</math> ע"י <math>g\circ f(a)=g(f(a))</math>
*פעולת ההרכבה היא אסוציאטיבית.
*תהי קבוצה A נגדיר את '''פונקצית הזהות''' <math>I_A:A\to A</math> ע"י <math>I_A(x)=x</math>.
*לכל פונקציה <math>f:A\to B</math> מתקיים כי <math>I_B\circ f = f\circ I_A = f</math>
*פונקציה <math>f:A\to B</math> נקראת הפיכה אם קיימות פונקציות <math>g,h:B\to A</math> כך ש:
**<math>g\circ f = I_A</math> וכן <math>f\circ h = I_B</math>
*נשים לב כי
**<math>h=I_A\circ h = (g\circ f)\circ h = g\circ (f\circ h)=g\circ I_B = g</math>
*לכן אם פונקציה הפיכה, יש פונקציה יחידה שהופכת אותה (ההופכית), נסמנה <math>f^{-1}:B\to A</math>.
*שימו לב: עם סוגריים מרובעים זו פונקצית התמונה ההפוכה שיש לכל פונקציה ופועלת על תתי קבוצות, עם סוגריים עגולים זו הפונקציה ההופכית שיש רק להפיכות ופועלת על איברים.
<videoflash>t5QyDk-Mo2g</videoflash>
===השוואת עוצמות===
*A שקולת עוצמה לB או עוצמתה של A שווה לB, אם קיימת פונקציה הפיכה (חח"ע ועל) <math>f:A\to B</math>.
*במקרה זה מסמנים <math>A\sim B</math> או <math>|A|=|B|</math>.
**כל קבוצה שקולת עוצמה לעצמה
**אם A שקולת עוצמה לB, גם B שקולת עוצמה לA
**אם A שקולת עוצמה לB וB שקולת עוצמה לC אזי A שקולת עוצמה לC
*עוצמתה של A קטנה או שווה לזו של B, אם קיימת פונקציה חח"ע <math>f:A\to B</math>.
*במקרה זה מסמנים <math>|A|\leq |B|</math>
*כל קבוצה A השקולת עוצמה לקבוצת הטבעיים מסומנת <math>|A|=\aleph_0</math>
*כל קבוצה A השקולת עוצמה לקבוצת הממשיים מסומנת <math>|A|=\aleph</math>
<videoflash>Zu0tX3VcZbg</videoflash>
===נושאים שעוד לא נערכומשפט קנטור===*<math>|A|<|P(A)|</math><videoflash>H4IwZiUCUvM</videoflash> ===קבוצות בנות מנייה===*קבוצה A נקראת בת מנייה אם <math>|A|\leq \aleph_0</math> *כל קבוצה A בת מנייה אינסופית מקיימת <math>|A|=\aleph_0</math> <videoflash>7TyjNpInOsc</videoflash> ===חשבון עוצמות (אריתמטיקה של עוצמות)=== ====חיבור עוצמות====*תהיינה שתי עוצמות a,b ותהיינה שתי נציגות זרות לעוצמות A,B.*נגדיר <math>a+b=|A\cup B|</math>, הגדרה זו אינה תלוייה בבחירת הנציגות. <videoflash>eDpiO50cDmI</videoflash> ====כפל עוצמות====*תהיינה שתי עוצמות a,b ותהיינה שתי נציגות לעוצמות A,B.*נגדיר <math>a\cdot b=|A\times B|</math>, הגדרה זו אינה תלוייה בבחירת הנציגות. <videoflash>AQNIw1ys8B4</videoflash> ====חזקת עוצמות==== *תהיינה שתי עוצמות a,b ותהיינה שתי נציגות לעוצמות A,B.*נגדיר את <math>A^B</math> להיות אוסף כל הפונקציות מB לA (מהמעריך לבסיס).*נגדיר <math>a^b=|A^B|</math>, הגדרה זו אינה תלוייה בבחירת הנציגות. <videoflash>aBV5Vt1eMG4</videoflash> *חוקי חזקות*תהיינה עוצמות a,b,c אזי**<math>a^b\cdot a^c = a^{b+c}</math>**<math>(a^b)^c = a^{b\cdot c}</math>**<math>a^b\cdot c^b = (a\cdot c)^b</math> <videoflash>KUTIHDhwjsE</videoflash> ====עוצמת קבוצת החזקה==== *<math>|P(A)|=2^{|A|}</math> <videoflash>pPG6BgSY_Wg</videoflash> ====השוואת חשבון עוצמות====*תהיינה עוצמות a,b,c,d כך ש <math>a\leq c</math> וכן <math>b\leq d</math> אזי:**<math>a+b\leq c+d</math>**<math>a\cdot b\leq c\cdot d</math>*אם בנוסף נתון כי <math>c\neq 0</math> אזי**<math>a^b\leq c^d</math> <videoflash>i07f9wwcjtU</videoflash> ===משפט קקנטור-שרדר-ברנשטיין===*אם <math>|A|\leq |B|</math> וגם <math>|B|\leq |A|</math> אזי <math>A\sim B</math>====למת נקודת השבת====*תהי פונקציה עולה <math>h:P(A)\to P(A)</math> כלומר המקיימת לכל <math>X_1\subseteq X_2</math> כי <math>h(X_1)\subseteq h(X_2)</math>*אזי קיימת נק' שבת <math>K\subseteq A</math> כך ש <math>h(K)=K</math>.<videoflash>csJJBPs9NaI</videoflash>====הוכחת המשפט====<videoflash>KlZHXHxkzJk</videoflash> ====עוצמות קטעים ממשיים==== *<math>|\mathbb{R}|=|[a,\infty)|=|[a,b]|=|(a,b)|=\aleph</math> <videoflash>qDGHoXKOpzk</videoflash> ===אקסיומת הבחירה ועקרון המקסימום של האוסדורף=======אקסיומת הבחירה====*תהי S קבוצת קבוצות לא ריקות, ונסמן את האיחוד הכללי ב <math>U=\cup_{X\in S}X</math>.*אזי קיימת פונקצית בחירה <math>f:S\to U</math> הבוחרת איבר מתוך כל קבוצה, כלומר:**<math>\forall X\in S: f(X)\in X</math> *דוגמא:**תהי פונקציה על <math>f:A\to B</math> אזי קיימת תת קבוצה <math>X\subseteq A</math> כך ש<math>f:X\to B</math> חח"ע ועל. <videoflash>q2OP1NCWKHU</videoflash> *תהיינה <math>A,B\neq\emptyset</math> אזי <math>|A|\leq |B|</math> אם ורק אם קיימת <math>g:B\to A</math> על. *בכיוון ראשון:**תהי <math>f:A\to B</math> חח"ע**כיוון ש<math>A\neq \emptyset</math> קיים <math>a\in A</math>**נגדיר פונקציה <math>g:B\to A</math> באופן הבא:***לכל <math>b\in B</math> ***אם קיים <math>x\in A</math> כך ש <math>f(x)=b</math> נגדיר <math>f(b)=x</math> (בגלל החח"ע זה מוגדר היטב)***אם <math>b\not\in Im(f)</math> נגדיר <math>f(b)=a</math>**הפונקציה <math>g</math> שהגדרנו היא אכן על, כי לכל <math>x\in A</math> מתקיים כי <math>g(f(x))=x</math>*בכיוון שני:**תהי <math>g:B\to A</math> על, אזי כל הקבוצות באוסף <math>U=\left\{g^{-1}[\{a\}]|a\in A\right\}</math> אינן ריקות.**ניקח פונקצית בחירה <math>h:U\to B</math> ונגדיר <math>f:A\to B</math> ע"י <math>f(a)=h(g^{-1}[\{a\}])</math>**אכן <math>f</math> חח"ע כי אם <math>f(a_1)=f(a_2)=b</math> אזי <math>b\in g^{-1}[\{a_1\}]</math> וכן <math>b\in g^{-1}[\{a_2\}]</math>**ולכן <math>g(b)=a_1</math> וכן <math>g(b)=a_2</math>, כלומר <math>a_1=a_2</math> <videoflash>Dl6sgVGZksk</videoflash> ====עקרון המקסימום של האוסדורף====*תהי קבוצה A עם יחס סדר חלקי, תת קבוצה <math>S\subseteq A</math> נקראת שרשרת אם היחס מלא עליה (ניתן להשוות בין כל שני איברים בS).*שרשרת נקראת מקסימלית בA אם היא אינה מוכלת באף שרשרת אחרת.*עקרון המקסימום של האוסדורף אומר שכל שרשרת מוכלת בשרשרת מקסימלית. *דוגמא - אוסף עיגולים במישור שאינם חותכים זה את זה, ולא ניתן להוסיף אפילו עיגול אחד נוסף. <videoflash>O_uDtoDRRZ8</videoflash> *טענות שימושיות להמשך:*תהי <math>U</math> קבוצה של יחסים מ<math>A</math> ל <math>B</math>, תהי <math>M\subseteq U</math> שרשרת ביחס ההכלה ונסמן את האיחוד הכללי של השרשרת ב<math>f=\cup_{R\in M} R</math>*משפט קנטוראזי:**אם כל היחסים ב<math>M</math> ח"ע, אז גם <math>f</math> ח"ע***אכן, יהיו <math>(a,b_1),(a,b_2)\in f</math>***לכן קיימים <math>R_1,R_2\in M</math> כך ש <math>(a,b_1)\in R_1</math> וכן <math>(a,b_2)\in R_2</math>***כיוון ש<math>M</math> שרשרת, אזי <math>R_1\subseteq R_2</math> (או ההפך) ולכן <math>(a,b_1),(a,b_2)\in R_2</math>***כיוון ש<math>R_2</math> ח"ע נובע כי <math>b_1=b_2</math> כפי שרצינו.**אם כל היחסים ב<math>M</math> חח"ע, אזי גם <math>f</math> חח"ע***הוכחה דומה לח"ע ===איחוד בן מנייה של קבוצות בנות מנייה===(בהנחת אקסיומת הבחירה) *תהי S קבוצה בת מנייה של קבוצות בנות מנייה, עוצמת כלומר:**<math>|S|\leq\aleph_0</math>**<math>\forall X\in S:|X|\leq\aleph_0</math>*אזי גם האיחוד הכללי הוא בן מנייה:**<math>|\cup_{X\in S}X|\leq \aleph_0</math> *מסקנה: אוסף תתי קבוצות הקבוצות הסופיות של המספרים הטבעייםהוא בן מנייה. *עקרון הערה לסרטון: אנחנו משתמשים באקסיומת הבחירה כאשר "בוחרים" את הפונקציות החח"ע מהקבוצות באוסף אל הטבעיים. <videoflash>0S6r0s2SnNc</videoflash> ===השוואת עוצמות===(בהנחת עיקרון המקסימום של האוסדורף) *אקסיומת הבחירהתהיינה שתי קבוצות A,B אזי <math>|A|\leq|B|</math> או <math>|A|\geq |B|</math> *קשר בין נביט ב<math>U</math> אוסף היחסים הח"ע והחח"ע מ<math>A</math> ל<math>B</math>, וניקח שרשרת מקסימלית ביחס ההכלה <math>M\subseteq U</math>*נסמן ב<math>f</math> את האיחוד הכללי על השרשרת <math>M</math>*ראינו שנובע במקרה זה כי <math>f</math> יחס ח"ע וחח"ע מ<math>A</math> ל<math>B</math>.**אם <math>f</math> שלם, אזי <math>f:A\to B</math> פונקציה חח"ע ולכן <math>|A|\leq |B|</math>**אם <math>f</math> על להשוואת עוצמות, אזי <math>f:X\to B</math> פונקציה על עבור <math>X\subseteq A</math> ולכן <math>|B|\leq |X|\leq |A|</math>**אחרת, קיים זוג <math>(a,b)\in A\times B</math> כך ש <math>f\cup\{(a,b)\}</math> יחס ח"ע וחח"ע שניתן להוסיף לשרשרת <math>M</math> בסתירה למקסימליות שלה. <videoflash>XZkMt26fQyE</videoflash> ====אלף אפס היא העוצמה האינסופית הקטנה ביותר====(בהנחת עקרון המקסימום של האוסדורף) *תהי A קבוצה אינסופית, אזי <math>\aleph_0\leq |A|</math> *דרך נוספת לזו המופיעה בסרטון:**נוכיח בהמשך כי ניתן להשוות עוצמה בין כל שתי קבוצות**אם <math>|A|\leq |\mathbb{N}|</math>, כיוון ש<math>A</math> אינסופית נובע כי <math>|A|=\aleph_0</math>**אחרת, <math>|\mathbb{N}|\leq |A|</math> ולכן <math>\aleph_0\leq |A|</math> כפי שרצינו. <videoflash>W4see8tTArk</videoflash> *תהי A קבוצה אינסופית גדולה שווה מאלף אפס, ותהי B קבוצה סופית, אזי:*אריתמטיקה של עוצמות*<math>|A|=|A\cup B|=|A\setminus B|</math> *דרך נוספת לזו המופיעה בסרטון:**בהמשך נוכיח כי לכל קבוצה אינסופית <math>X</math> מתקיים כי <math>|X|+|X|=|X|</math>**לכן <math>|A|\leq |A\cup B|=|A|+|B\setminus A|\leq |A|+|A|=|A|</math> ולפי ק.ש.ב <math>|A|=|A\cup B|</math>.***שימו לב כי <math>B\setminus A</math> סופית ולכן קטנה יותר מהקבוצה האינסופית <math>A</math>.**כמו כן <math>|A|=|A\setminus B|+|B\cap A|</math>**כעת <math>|A\setminus B|\leq|A\setminus B|+|B\cap A|\leq |A\setminus B|+|A\setminus B|=|A\setminus B|</math>.***שימו לב כי <math>B\cap A</math> סופית ולכן קטנה יותר מהקבוצה האינסופית <math>A\setminus B</math>.**לכן לפי ק.ש.ב <math>|A|=|A\setminus B|+|B\cap A|=|A\setminus B|</math> <videoflash>eaonM-yfR3w</videoflash> ===סכום ומכפלה של עוצמותאינסופיות שווה לגדולה מבין העוצמות=== **כפל תהיינה עוצמות<math>a\leq b</math> אזי:**חזקת עוצמות<math>b\leq a+b</math>*נניח בנוסף כי <math>2\leq a\leq b</math> אזי:*הקשר בין השוואת הקבוצות לפני הפעולה*<math>a+b\leq a\cdot b</math>*נניח בנוסף כי b אינסופית, להשוואתן אחרי הפעולהונקבל ביחד*הקשר בין אלף אפס לאלף*<math>b\leq a+b \leq a\cdot b\leq b\cdot b =b</math> (המעבר <math>b\cdot b=b</math> מוכח בסרטון השני).*ולכן לפי משפט ק.ש.ב נקבל כי**<math>a+b=a\cdot b = b</math> *דוגמא - מה היא עוצמת קבוצת המספרים האי-רציונאליים?*<math>\mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup (\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})</math> (איחוד זר כמובן)*לכן <math>|\mathbb{R}|=|\mathbb{Q}|+ |(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})|</math>*לכן <math>\aleph=\aleph_0 +|(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})|</math>*לפי המשפט לעיל, סכום וכפל עוצמות העוצמות הוא העוצמה הגדולה מבין השתיים. *כיוון ש <math>\aleph\neq \aleph_0</math> נקבל כי <math>|(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})|=\aleph</math> <videoflash>Ty-lY6-uRPo</videoflash> ====עוצמה כפול עצמה====*תהי קבוצה אינסופית <math>B</math> אזי <math>B\times B\sim B</math> *הוכחה:*תהי <math>S</math> קבוצת כל היחסים <math>R\subseteq (B\times B)\times B</math>, כך שקיימת תת קבוצה <math>X\subseteq B</math> כך ש <math>R:X\times X\to X</math> פונקציה הפיכה.*כיוון ש<math>B</math> אינסופית, יש לה תת קבוצה <math>Y\subseteq B</math> כך ש <math>|Y|=\aleph_0</math>.*כיוון ש <math>\aleph_0\times\aleph_0=\aleph_0</math> קיימת פונקציה הפיכה <math>R:Y\times Y\to Y</math>.*נביט ביחס ההכלה על <math>S</math>. לפי עקרון המקסימוםשל האוסדורף, קיימת שרשרת מקסימלית <math>\{R\}\subseteq M\subseteq S</math>.*תמיד נסמן ב<math>f</math> את האיחוד הכללי של השרשרת <math>f=\cup_{T\in M} T</math>.*נוכיח כי קיימת <math>D\subseteq B</math> כך ש <math>f:D\times D\to D</math> פונקציה הפיכה, ואף <math>|D|=|B|</math> וכך נסיים את ההוכחה. *הוכחה כי <math>f\in S</math> פונקציה הפיכה <math>f:D\times D\to D</math> עבור תת קבוצה <math>D\subseteq B</math>:*ראשית, נגדיר את <math>D=\{d\in B | \exists a,b\in B:((a,b),d)\in f\}</math>*נוכיח כי <math>f\subseteq (D\times D)\times D</math>:**יהי זוג <math>((a,b),d)\in f</math>, לפי ההגדרה <math>d\in D</math>**כמו כן, לפי הגדרת האיחוד קיים <math>T\in M</math> כך ש <math>((a,b),d)\in T</math>.**קיימת <math>X\subseteq B</math> כך ש <math>T:X\times X\to X</math> פונקציה הפיכה.**כיוון ש <math>T</math> על, לכל <math>x\in X</math> קיימים <math>p,q\in X</math> כך ש <math>((p,q),x)\in T</math> ולכן <math>((p,q),x)\in f</math> ולכן <math>x\in D</math>**ביחד עם העובדה ש <math>a,b\in X</math> נובע כי <math>a,b\in D</math>*כיוון שכל איברי השרשרת הם יחסים ח"ע, גם <math>f</math> ח"ע.*כיוון שכל איברי השרשרת הם יחסים חח"ע, גם <math>f</math> חח"ע.*כעת נוכיח כי <math>f:D\times D\to D</math> יחס שלם:**יהיו <math>d_1,d_2\in D</math>. **ראינו כי קיימים <math>T_1,T_2\in M</math> ואיברים <math>a_1,b_1,a_2,b_2\in D</math> כך ש <math>((a_1,b_1),d_1)\in T_1</math> וכן <math>((a_2,b_2),d_2)\in T_2</math>**כיוון ש<math>M</math> שרשרת, <math>T_1\subseteq T_2</math> (או ההפך) ולכן <math>a_1,a_2,b_1,b_2\in X</math> עבור תת קבוצה <math>X\subseteq D</math> כך ש <math>T_2:X\times X\to X</math> פונקציה הפיכה.**לכן קיים <math>d_3\in X\subseteq D</math> כך ש <math>((d_1,d_2),d_3)\in T_2</math> ולכן <math>((d_1,d_2),d_3)\in f</math> כלומר <math>f</math> שלם.*הוכחנו כי <math>f:D\times D\to D</math> היא פונקציה (יחס ח"ע ושלם) חח"ע, נותר להוכיח כי היא על:**יהי <math>d\in D</math>. ראינו כי קיים <math>T\in M</math> וקיימים <math>a,b\in D</math> כך ש <math>((a,b),d)\in T</math> ולכן <math>((a,b),d)\in f</math> ולכן הפונקציה על. *הוכחה כי <math>|D|=|B|</math>:*ראשית, נשים לב כי <math>Y\subseteq D</math> כיוון ש <math>R:Y\times Y\to Y</math> פונקציה הפיכה וכן <math>R\in M</math>, ולכן <math>D</math> אינסופית.*כעת, נזכור שהוכחנו כי <math>|D\times D|=|D|</math>.*נביט ב <math>B\setminus D</math> ונחלק למקרים:*אם <math>|B\setminus D|\leq D</math> אזי:**<math>|B|=|D|+|B\setminus D|\leq |D|+|D|\leq |D|\times |D| =|D|</math>**כמובן ש <math>|D|\leq |B|</math> ולפי ק.ש.ב נסיק כי במקרה זה <math>|B|=|D|</math> וסיימנו.*אם <math>|B\setminus D|\geq |D|</math> נראה כי נגיע לסתירה, ולכן מקרה זה בלתי אפשרי:**ניקח תת קבוצה <math>U\subseteq B\setminus D</math> כך ש <math>|U|=|D|</math>.**לכן <math>|(U\times D) \cup (D\times U) \cup (U\times U)|=|D|+|D|+|D|=|D|</math> (הרי ראינו מקודם כי <math>|D|+|D|=|D|</math>)**לכן קיימת פונקציה הפיכה <math>g:(U\times D) \cup (D\times U) \cup (U\times U)\to U</math>.**האיחוד <math>h=f\cup g</math> הוא פונקציה הפיכה <math>h:(U\cup D)\times (U\cup D)\to (U\cup D)</math>, ולכן <math>h\in S</math>.**ניתן להשוות עוצמותלהוסיף את <math>h</math> לשרשרת <math>M</math> ולהגדיל אותה, בסתירה למקסימליות שלה. <videoflash>e6cBpbJzs2A</videoflash> ===הקשר בין עוצמת הטבעיים לעוצמת הממשיים=== *<math>2^{\aleph_0}=\aleph</math> כלומר <math> P(\mathbb{N})\sim\mathbb{R}</math> <videoflash>dhrT0edcmJE</videoflash>
===תרגול===
