שינויים
/* חומר עזר */
*[[מדיה:16BdidaOrit.pdf|סיכומי ההרצאות של ד״ר ארז שיינר, ע״י אורית חסון, קיץ 2016]]
*[[מבחנים בבדידה]]
*[[בחנים בבדידה]]
*[[מבחנים בקורס בדידה למורים]] - שימו לב, הקורס למורים מכיל משמעותית פחות חומר, והמבחנים קלים יותר. יחד עם זאת, יש שם כמות גדולה של תרגילים רלוונטיים ברמה נמוכה.
=סרטוני ותקציר הרצאות=
[https://www.youtube.com/playlist?list=PLHinTfsAOC-vhY2xtz4MJzkm5tefKT3Dg פלייליסט של כל הסרטונים]
==פרק 1 - מבוא ללוגיקה מתמטית==
===פסוקים, קשרים, כמתים, פרדיקטים===
<videoflash>n6xkPhKmhQo</videoflash>
*דוגמא:
*<math>\sum_{k=1}^{2^{n-1}}\frac{1}{k} > \frac{n}{2}</math>
*אינדוקציה שלמה (מלאה)
*איבר שייך לקבוצה <math>a\in A</math> אם הוא אחד האיברים בקבוצה.
*קבוצה מוכלת בקבוצה אחרת <math>A\subseteq B</math> אם <math>\forall a\in A : a\in B</math>
*<math>\{1,2\}=\{2,1\}</math>
*<math>\{1,1,2\}=\{1,2\}</math>
**קבוצת החיתוך <math>A\cap B =\{ x\in U:x\in A \and x\in B\}</math>
**קבוצת ההפרש <math>A\setminus B =\{ x\in U:x\in A \and x\not\in B\}</math>
**קבוצת ההפרש הסימטרי <math>A\Delta B = (A\setminus B)\cup (B\setminus A)</math>
**קבוצת המשלים <math>\overline{A}=\{x\in U:x\not\in A\}</math>
*[[שיטות הוכחה בסיסיות]]
*הוכחת טענות מכומתות - טענות 'לכל' וטענות 'קיים'
<videoflash>QIwz6eyrcuI</videoflash>
*הוכחת הכלה בין קבוצות, ושיוויון בין קבוצות
<videoflash>Dts0NamGWbE</videoflash>
===איחוד וחיתוך כלליים===
====תכונות של יחסים====
*יהי R יחס על A (כלומר <math>R\subseteq A\times A</math>) אזי:
**R נקרא רפקסיבי רפלקסיבי אם לכל <math>a\in A</math> מתקיים <math>aRa</math>.
**R נקרא סימטרי אם לכל <math>a,b\in A</math> המקיימים <math>aRb</math> מתקיים <math>bRa</math>
**R נקרא אנטי-סימטרי אם לכל <math>a,b\in A</math> המקיימים <math>aRb\and bRa</math> מתקיים <math>a=b</math>
**R נקרא רפלקסיבי טרנזיטיבי אם לכל <math>a,b,c\in A</math> המקיימים <math>aRb \and bRc</math> מתקיים <math>aRc</math>
**R נקרא מלא אם לכל <math>a,b\in A</math> מתקיים כי <math>aRb\or bRa</math>
*לכל <math>a\in A</math> מוגדרת קבוצת '''מחלקת השקילות של a''' ע"י:
**<math>[a]_R=\{x\in A|aRx\}</math>
*קבוצת כל קבוצות מחלקות השקילות נקראת '''קבוצת המנה''':
**<math>A/R=\{[a]_R:a\in A\}</math>
*תהי קבוצה A. קבוצת תתי קבוצות <math>U\subseteq P(A)</math> נקראת '''חלוקה''' של A אם:
**<math>\cup_{X\in U}X=A</math>
**<math>\emptyset\notin U</math>
**לכל <math>X_1,X_2\in U</math> אם <math>X_1\cap X_2\neq \emptyset</math> אזי <math>X_1=X_2</math>
*היחס המושרה מחלוקה:
*תהי קבוצה A ותהי חלוקה שלה U. נגדיר יחס R על A על ידי:
**<math>aRb</math> אם ורק אם קיימת <math>X\in U</math> כך ש<math>a,b\in X</math>
*היחס המושרה מחלוקה הוא יחס שקילות.
*קבוצת המנה היא חלוקה של A.
*היחס המושרה מקבוצת המנה, הוא יחס השקילות המקורי; קבוצת המנה של יחס שקילות מושרה היא החלוקה המקורית.
**איבר <math>m\in A</math> נקרא '''מינימלי''' בA אם לכל <math>a\in A</math> המקיים <math>aRm</math> מתקיים כי <math>a=m</math> (אין קטנים ממנו)
**איבר <math>M\in A</math> נקרא '''הגדול ביותר''' (מקסימום) בA אם לכל <math>a\in A</math> מתקיים <math>aRM</math> (הוא גדול מכולם)
**איבר <math>m\in A</math> נקרא '''הקטן ביותר''' (מקסימוםמינימום) בA אם לכל <math>a\in A</math> מתקיים <math>mRa</math> (הוא קטן מכולם)
**איבר <math>M\in X</math> נקרא '''חסם מלעיל''' של A אם לכל <math>a\in A</math> מתקיים <math>aRM</math> (הוא גדול מכל איברי הקבוצה, אבל לאו דווקא נמצא בקבוצה)
**איבר <math>m\in X</math> נקרא '''חסם מלרע''' של A אם לכל <math>a\in A</math> מתקיים <math>mRa</math> (הוא קטן מכל איברי הקבוצה, אבל לאו דווקא נמצא בקבוצה)
*אם חסם מלעיל שייך לקבוצה, אז הוא הגדול ביותר.
*האיבר הגדול ביותר בקבוצה הוא איבר מקסימלי, ואין איברים מקסימליים אחרים.
*האם תתכן קבוצה עם איבר מקסימלי יחיד שאינו האיבר הגדול ביותר בקבוצה?
*ביחס ההכלה על קבוצת חזקה, האיחוד הכללי של קבוצת קבוצות הוא החסם העליון שלה, והחיתוך הכללי הוא החסם התחתון.
*ביחס 'מחלק את' על הטבעיים, המחלק המשותף המקסימלי הוא החסם התחתון, והמכפלה המשותפת המינימלית הוא החסם העליון.
<videoflash>EX6sPaiiu3k</videoflash>
====שרשראות====
*יחס סדר חלקי R על A נקרא '''מלא''' (או לינארי, או קווי) אם:
**<math>\forall a,b\in A:aRb\or bRa</math>
*יהי R יחס סדר חלקי על A, ותהי <math>S\subseteq A</math>.
*אזי <math>S</math> נקראת '''שרשרת''' אם היחס מלא עליה, כלומר <math>\forall a,b\in S:aRb\or bRa</math>
====תרגול====
*יחס f מA לB נקרא פונקציה אם הוא ח"ע ושלם, ומסמנים במקרה זה <math>f:A\to B</math>, וכן <math>f(a)=b\iff (a,b)\in f</math>.
*A נקרא תחום הפונקציה (או תחום הגדרה), B נקרא הטווח של הפונקציה.
*שימו לב, הסרטון ישן, ושם פונקציה הוגדרה כיחס ח"ע בלבד, בניגוד להגדרה העדכנית שלנו בקורס.
<videoflash>qDGHoXKOpzk</videoflash>
===אקסיומת הבחירה ועקרון המקסימום של האוסדורף===
====אקסיומת הבחירה====
*תהי S קבוצת קבוצת קבוצות לא ריקות, ונסמן את האיחוד הכללי ב <math>U=\cup_{X\in S}X</math>.
*אזי קיימת פונקצית בחירה <math>f:S\to U</math> הבוחרת איבר מתוך כל קבוצה, כלומר:
**<math>\forall X\in S: f(X)\in X</math>
*תהיינה <math>A,B\neq\emptyset</math> אזי <math>|A|\leq |B|</math> אם ורק אם קיימת <math>g:B\to A</math> על.
*בכיוון ראשון:
**תהי <math>f:A\to B</math> חח"ע
**כיוון ש<math>A\neq \emptyset</math> קיים <math>a\in A</math>
**נגדיר פונקציה <math>g:B\to A</math> באופן הבא:
***לכל <math>b\in B</math>
***אם קיים <math>x\in A</math> כך ש <math>f(x)=b</math> נגדיר <math>f(b)=x</math> (בגלל החח"ע זה מוגדר היטב)
***אם <math>b\not\in Im(f)</math> נגדיר <math>f(b)=a</math>
**הפונקציה <math>g</math> שהגדרנו היא אכן על, כי לכל <math>x\in A</math> מתקיים כי <math>g(f(x))=x</math>
*בכיוון שני:
**תהי <math>g:B\to A</math> על, אזי כל הקבוצות באוסף <math>U=\left\{g^{-1}[\{a\}]|a\in A\right\}</math> אינן ריקות.
**ניקח פונקצית בחירה <math>h:U\to B</math> ונגדיר <math>f:A\to B</math> ע"י <math>f(a)=h(g^{-1}[\{a\}])</math>
**אכן <math>f</math> חח"ע כי אם <math>f(a_1)=f(a_2)=b</math> אזי <math>b\in g^{-1}[\{a_1\}]</math> וכן <math>b\in g^{-1}[\{a_2\}]</math>
**ולכן <math>g(b)=a_1</math> וכן <math>g(b)=a_2</math>, כלומר <math>a_1=a_2</math>
<videoflash>Dl6sgVGZksk</videoflash>
<videoflash>O_uDtoDRRZ8</videoflash>
*טענות שימושיות להמשך:*תהי A <math>U</math> קבוצה אינסופיתשל יחסים מ<math>A</math> ל <math>B</math>, תהי <math>M\subseteq U</math> שרשרת ביחס ההכלה ונסמן את האיחוד הכללי של השרשרת ב<math>f=\cup_{R\in M} R</math>*אזי :**אם כל היחסים ב<math>M</math> ח"ע, אז גם <math>f</math> ח"ע***אכן, יהיו <math>(a,b_1),(a,b_2)\aleph_0in f</math>***לכן קיימים <math>R_1,R_2\leq Ain M</math> כך ש <math>(a,b_1)\in R_1</math> וכן <math>(a,b_2)\in R_2</math>***כיוון ש<math>M</math> שרשרת, אזי <math>R_1\subseteq R_2</math> (או ההפך) ולכן <math>(a,b_1),(a,b_2)\in R_2</math>***כיוון ש<math>R_2</math> ח"ע נובע כי <math>b_1=b_2</math> כפי שרצינו.**אם כל היחסים ב<math>M</math> חח"ע, אזי גם <math>f</math>חח"ע***הוכחה דומה לח"ע
===איחוד בן מנייה של קבוצות בנות מנייה===
(בהנחת אקסיומת הבחירה)
*תהי A S קבוצה אינסופיתבת מנייה של קבוצות בנות מנייה, ותהי B קבוצה סופית, אזיכלומר:**<math>|AS|=|A\cup Bleq\aleph_0</math>**<math>\forall X\in S:|=X|A\setminus Bleq\aleph_0</math>*אזי גם האיחוד הכללי הוא בן מנייה:**<math>|\cup_{X\in S}X|\leq \aleph_0</math>
*מסקנה: אוסף תתי הקבוצות הסופיות של המספרים הטבעיים הוא בן מנייה. *הערה לסרטון: אנחנו משתמשים באקסיומת הבחירה כאשר "בוחרים" את הפונקציות החח"ע מהקבוצות באוסף אל הטבעיים. <videoflash>eaonM-yfR3w0S6r0s2SnNc</videoflash>
===השוואת עוצמות===
*תהיינה שתי קבוצות A,B אזי <math>|A|\leq|B|</math> או <math>|A|\geq |B|</math>
*נביט ב<math>U</math> אוסף היחסים הח"ע והחח"ע מ<math>A</math> ל<math>B</math>, וניקח שרשרת מקסימלית ביחס ההכלה <math>M\subseteq U</math>
*נסמן ב<math>f</math> את האיחוד הכללי על השרשרת <math>M</math>
*ראינו שנובע במקרה זה כי <math>f</math> יחס ח"ע וחח"ע מ<math>A</math> ל<math>B</math>.
**אם <math>f</math> שלם, אזי <math>f:A\to B</math> פונקציה חח"ע ולכן <math>|A|\leq |B|</math>
**אם <math>f</math> על, אזי <math>f:X\to B</math> פונקציה על עבור <math>X\subseteq A</math> ולכן <math>|B|\leq |X|\leq |A|</math>
**אחרת, קיים זוג <math>(a,b)\in A\times B</math> כך ש <math>f\cup\{(a,b)\}</math> יחס ח"ע וחח"ע שניתן להוסיף לשרשרת <math>M</math> בסתירה למקסימליות שלה.
<videoflash>XZkMt26fQyE</videoflash>
====אלף אפס היא העוצמה האינסופית הקטנה ביותר====
(בהנחת עקרון המקסימום של האוסדורף)
*תהי A קבוצה אינסופית, אזי <math>\aleph_0\leq |A|</math>
*דרך נוספת לזו המופיעה בסרטון:
**נוכיח בהמשך כי ניתן להשוות עוצמה בין כל שתי קבוצות
**אם <math>|A|\leq |\mathbb{N}|</math>, כיוון ש<math>A</math> אינסופית נובע כי <math>|A|=\aleph_0</math>
**אחרת, <math>|\mathbb{N}|\leq |A|</math> ולכן <math>\aleph_0\leq |A|</math> כפי שרצינו.
<videoflash>W4see8tTArk</videoflash>
*תהי A קבוצה אינסופית, ותהי B קבוצה סופית, אזי:
**<math>|A|=|A\cup B|=|A\setminus B|</math>
*דרך נוספת לזו המופיעה בסרטון:
**בהמשך נוכיח כי לכל קבוצה אינסופית <math>X</math> מתקיים כי <math>|X|+|X|=|X|</math>
**לכן <math>|A|\leq |A\cup B|=|A|+|B\setminus A|\leq |A|+|A|=|A|</math> ולפי ק.ש.ב <math>|A|=|A\cup B|</math>.
***שימו לב כי <math>B\setminus A</math> סופית ולכן קטנה יותר מהקבוצה האינסופית <math>A</math>.
**כמו כן <math>|A|=|A\setminus B|+|B\cap A|</math>
**כעת <math>|A\setminus B|\leq|A\setminus B|+|B\cap A|\leq |A\setminus B|+|A\setminus B|=|A\setminus B|</math>.
***שימו לב כי <math>B\cap A</math> סופית ולכן קטנה יותר מהקבוצה האינסופית <math>A\setminus B</math>.
**לכן לפי ק.ש.ב <math>|A|=|A\setminus B|+|B\cap A|=|A\setminus B|</math>
<videoflash>eaonM-yfR3w</videoflash>
===סכום ומכפלה של עוצמות אינסופיות שווה לגדולה מבין העוצמות===
*ולכן לפי משפט ק.ש.ב נקבל כי
**<math>a+b=a\cdot b = b</math>
*דוגמא - מה היא עוצמת קבוצת המספרים האי-רציונאליים?
*<math>\mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup (\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})</math> (איחוד זר כמובן)
*לכן <math>|\mathbb{R}|=|\mathbb{Q}|+ |(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})|</math>
*לכן <math>\aleph=\aleph_0 +|(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})|</math>
*לפי המשפט לעיל, סכום העוצמות הוא העוצמה הגדולה מבין השתיים.
*כיוון ש <math>\aleph\neq \aleph_0</math> נקבל כי <math>|(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})|=\aleph</math>
====עוצמה כפול עצמה====*תהי עוצמה קבוצה אינסופית b <math>B</math> אזי <math>B\times B\sim B</math> *הוכחה:*תהי <math>S</math> קבוצת כל היחסים <math>R\subseteq (B\times B)\times B</math>, כך שקיימת תת קבוצה <math>X\subseteq B</math> כך ש <math>R:X\times X\to X</math> פונקציה הפיכה.*כיוון ש<math>B</math> אינסופית, יש לה תת קבוצה <math>Y\subseteq B</math> כך ש <math>|Y|=\aleph_0</math>.*כיוון ש <math>\aleph_0\times\aleph_0=\aleph_0</math> קיימת פונקציה הפיכה <math>R:Y\times Y\to Y</math>.*נביט ביחס ההכלה על <math>S</math>. לפי עקרון המקסימום של האוסדורף, קיימת שרשרת מקסימלית <math>\{R\}\subseteq M\subseteq S</math>.*נסמן ב<math>f</math> את האיחוד הכללי של השרשרת <math>f=\cup_{T\in M} T</math>.*נוכיח כי קיימת <math>D\subseteq B</math> כך ש <math>f:D\times D\to D</math> פונקציה הפיכה, ואף <math>|D|=|B|</math> וכך נסיים את ההוכחה. *הוכחה כי <math>f\in S</math> פונקציה הפיכה <math>f:D\times D\to D</math> עבור תת קבוצה <math>D\subseteq B</math>:*ראשית, נגדיר את <math>D=\{d\in B | \exists a,b\cdot in B:((a,b=),d)\in f\}</math>*נוכיח כי <math>f\subseteq (D\times D)\times D</math>:**יהי זוג <math>((a,b),d)\in f</math>, לפי ההגדרה <math>d\in D</math>**כמו כן, לפי הגדרת האיחוד קיים <math>T\in M</math> כך ש <math>((a,b),d)\in T</math>.**קיימת <math>X\subseteq B</math> כך ש <math>T:X\times X\to X</math> פונקציה הפיכה.**כיוון ש <math>T</math> על, לכל <math>x\in X</math> קיימים <math>p,q\in X</math> כך ש <math>((p,q),x)\in T</math> ולכן <math>((p,q),x)\in f</math> ולכן <math>x\in D</math>**ביחד עם העובדה ש <math>a,b\in X</math> נובע כי <math>a,b\in D</math>*כיוון שכל איברי השרשרת הם יחסים ח"ע, גם <math>f</math> ח"ע.*כיוון שכל איברי השרשרת הם יחסים חח"ע, גם <math>f</math> חח"ע.*כעת נוכיח כי <math>f:D\times D\to D</math> יחס שלם:**יהיו <math>d_1,d_2\in D</math>. **ראינו כי קיימים <math>T_1,T_2\in M</math> ואיברים <math>a_1,b_1,a_2,b_2\in D</math> כך ש <math>((a_1,b_1),d_1)\in T_1</math> וכן <math>((a_2,b_2),d_2)\in T_2</math>**כיוון ש<math>M</math> שרשרת, <math>T_1\subseteq T_2</math> (או ההפך) ולכן <math>a_1,a_2,b_1,b_2\in X</math> עבור תת קבוצה <math>X\subseteq D</math> כך ש <math>T_2:X\times X\to X</math> פונקציה הפיכה.**לכן קיים <math>d_3\in X\subseteq D</math> כך ש <math>((d_1,d_2),d_3)\in T_2</math> ולכן <math>((d_1,d_2),d_3)\in f</math> כלומר <math>f</math> שלם.*הוכחנו כי <math>f:D\times D\to D</math> היא פונקציה (יחס ח"ע ושלם) חח"ע, נותר להוכיח כי היא על:**יהי <math>d\in D</math>. ראינו כי קיים <math>T\in M</math> וקיימים <math>a,b\in D</math> כך ש <math>((a,b),d)\in T</math> ולכן <math>((a,b),d)\in f</math> ולכן הפונקציה על. *הוכחה כי <math>|D|=|B|</math>:*ראשית, נשים לב כי <math>Y\subseteq D</math> כיוון ש <math>R:Y\times Y\to Y</math> פונקציה הפיכה וכן <math>R\in M</math>, ולכן <math>D</math> אינסופית.*כעת, נזכור שהוכחנו כי <math>|D\times D|=|D|</math>.*נביט ב <math>B\setminus D</math> ונחלק למקרים:*אם <math>|B\setminus D|\leq D</math> אזי:**<math>|B|=|D|+|B\setminus D|\leq |D|+|D|\leq |D|\times |D| =|D|</math>**כמובן ש <math>|D|\leq |B|</math> ולפי ק.ש.ב נסיק כי במקרה זה <math>|B|=|D|</math> וסיימנו.*אם <math>|B\setminus D|\geq |D|</math> נראה כי נגיע לסתירה, ולכן מקרה זה בלתי אפשרי:**ניקח תת קבוצה <math>U\subseteq B\setminus D</math> כך ש <math>|U|=|D|</math>.**לכן <math>|(U\times D) \cup (D\times U) \cup (U\times U)|=|D|+|D|+|D|=|D|</math> (הרי ראינו מקודם כי <math>|D|+|D|=|D|</math>)**לכן קיימת פונקציה הפיכה <math>g:(U\times D) \cup (D\times U) \cup (U\times U)\to U</math>.**האיחוד <math>h=f\cup g</math> הוא פונקציה הפיכה <math>h:(U\cup D)\times (U\cup D)\to (U\cup D)</math>, ולכן <math>h\in S</math>.**ניתן להוסיף את <math>h</math> לשרשרת <math>M</math>ולהגדיל אותה, בסתירה למקסימליות שלה.
