שינויים
/* חומר עזר */
*[[מדיה:16BdidaOrit.pdf|סיכומי ההרצאות של ד״ר ארז שיינר, ע״י אורית חסון, קיץ 2016]]
*[[מבחנים בבדידה]]
*[[בחנים בבדידה]]
*[[מבחנים בקורס בדידה למורים]] - שימו לב, הקורס למורים מכיל משמעותית פחות חומר, והמבחנים קלים יותר. יחד עם זאת, יש שם כמות גדולה של תרגילים רלוונטיים ברמה נמוכה.
===אקסיומת הבחירה ועקרון המקסימום של האוסדורף===
====אקסיומת הבחירה====
*תהי S קבוצת קבוצת קבוצות לא ריקות, ונסמן את האיחוד הכללי ב <math>U=\cup_{X\in S}X</math>.
*אזי קיימת פונקצית בחירה <math>f:S\to U</math> הבוחרת איבר מתוך כל קבוצה, כלומר:
**<math>\forall X\in S: f(X)\in X</math>
*תהי A קבוצה אינסופית, אזי <math>\aleph_0\leq |A|</math>
*דרך נוספת לזו המופיעה בסרטון:
*תהי A קבוצה אינסופית, ותהי B קבוצה סופית, אזי:
**<math>|A|=|A\cup B|=|A\setminus B|</math>
*דרך נוספת לזו המופיעה בסרטון:
**בהמשך נוכיח כי לכל קבוצה אינסופית <math>X</math> מתקיים כי <math>|X|+|X|=|X|</math>
**לכן <math>|A|\leq |A\cup B|=|A|+|B\setminus A|\leq |A|+|A|=|A|</math> ולפי ק.ש.ב <math>|A|=|A\cup B|</math>.
***שימו לב כי <math>B\setminus A</math> סופית ולכן קטנה יותר מהקבוצה האינסופית <math>A</math>.
**כמו כן <math>|A|=|A\setminus B|+|B\cap A|</math>
**כעת <math>|A\setminus B|\leq|A\setminus B|+|B\cap A|\leq |A\setminus B|+|A\setminus B|=|A\setminus B|</math>.
***שימו לב כי <math>B\cap A</math> סופית ולכן קטנה יותר מהקבוצה האינסופית <math>A\setminus B</math>.
**לכן לפי ק.ש.ב <math>|A|=|A\setminus B|+|B\cap A|=|A\setminus B|</math>
*אם <math>|B\setminus D|\geq |D|</math> נראה כי נגיע לסתירה, ולכן מקרה זה בלתי אפשרי:
**ניקח תת קבוצה <math>U\subseteq B\setminus D</math> כך ש <math>|U|=|D|</math>.
**לכן <math>|(U\times D ) \cup (D\times U ) \cup (U\times U)|=|D|+|D|+|D|=|D|</math> (הרי ראינו מקודם כי <math>|D|+|D|=|D|</math>)**לכן קיימת פונקציה הפיכה <math>g:(U\times D ) \cup (D\times U ) \cup (U\times U)\to U</math>.
**האיחוד <math>h=f\cup g</math> הוא פונקציה הפיכה <math>h:(U\cup D)\times (U\cup D)\to (U\cup D)</math>, ולכן <math>h\in S</math>.
**ניתן להוסיף את <math>h</math> לשרשרת <math>M</math> ולהגדיל אותה, בסתירה למקסימליות שלה.
