מתמטיקה בדידה - ארז שיינר

מתוך Math-Wiki
גרסה מ־07:51, 9 ביוני 2020 מאת ארז שיינר (שיחה | תרומות) (עוצמות קטעים ממשיים)

קפיצה אל: ניווט, חיפוש

תוכן עניינים

חומר עזר

סרטוני ותקציר הרצאות

פרק 1 - מבוא ללוגיקה מתמטית

פסוקים, קשרים, כמתים, פרדיקטים


תרגול

אינדוקציה

תרגול

פרק 2 - מבוא לתורת הקבוצות

קבוצות ופעולות על קבוצות

שיטות הוכחה בסיסיות

איחוד וחיתוך כלליים

קבוצת החזקה

תרגול

פרק 3 - יחסים

מכפלה קרטזית ויחסים

יחסי שקילות

תרגול

יחסי סדר

איברים מינימליים ומקסימליים, וחסמים

תרגול

פרק 4 - פונקציות

הגדרת פונקציות

חח"ע ועל, תמונה ותמונה הפוכה

הרכבת פונקציות, פונקציות הפיכות

פונקציה מוגדרת היטב

תרגול

תרגול בנושא פונקציות

תרגול נוסף בנושא פונקציות

פרק 5 - עוצמות

מבוא

השוואת עוצמות

  • A שקולת עוצמה לB או עוצמתה של A שווה לB, אם קיימת פונקציה הפיכה (חח"ע ועל) f:A\to B.
  • במקרה זה מסמנים A\sim B או |A|=|B|.
    • כל קבוצה שקולת עוצמה לעצמה
    • אם A שקולת עוצמה לB, גם B שקולת עוצמה לA
    • אם A שקולת עוצמה לB וB שקולת עוצמה לC אזי A שקולת עוצמה לC


  • עוצמתה של A קטנה או שווה לזו של B, אם קיימת פונקציה חח"ע f:A\to B.
  • במקרה זה מסמנים |A|\leq |B|


  • כל קבוצה A השקולת עוצמה לקבוצת הטבעיים מסומנת |A|=\aleph_0
  • כל קבוצה A השקולת עוצמה לקבוצת הממשיים מסומנת |A|=\aleph


משפט קנטור

  • |A|<|P(A)|

קבוצות בנות מנייה

  • קבוצה A נקראת בת מנייה אם |A|\leq \aleph_0
  • כל קבוצה A בת מנייה אינסופית מקיימת |A|=\aleph_0

חשבון עוצמות (אריתמטיקה של עוצמות)

חיבור עוצמות

  • תהיינה שתי עוצמות a,b ותהיינה שתי נציגות זרות לעוצמות A,B.
  • נגדיר a+b=|A\cup B|, הגדרה זו אינה תלוייה בבחירת הנציגות.


כפל עוצמות

  • תהיינה שתי עוצמות a,b ותהיינה שתי נציגות לעוצמות A,B.
  • נגדיר a\cdot b=|A\times B|, הגדרה זו אינה תלוייה בבחירת הנציגות.


חזקת עוצמות

  • תהיינה שתי עוצמות a,b ותהיינה שתי נציגות לעוצמות A,B.
  • נגדיר את A^B להיות אוסף כל הפונקציות מB לA (מהמעריך לבסיס).
  • נגדיר a^b=|A^B|, הגדרה זו אינה תלוייה בבחירת הנציגות.


  • חוקי חזקות
  • תהיינה עוצמות a,b,c אזי
    • a^b\cdot a^c = a^{b+c}
    • (a^b)^c = a^{b\cdot c}
    • a^b\cdot c^b = (a\cdot c)^b



עוצמת קבוצת החזקה

  • |P(A)|=2^{|A|}


השוואת חשבון עוצמות

  • תהיינה עוצמות a,b,c,d כך ש a\leq c וכן b\leq d אזי:
    • a+b\leq c+d
    • a\cdot b\leq c\cdot d
  • אם בנוסף נתון כי c\neq 0 אזי
    • a^b\leq c^d

משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין

  • אם |A|\leq |B| וגם |B|\leq |A| אזי A\sim B

למת נקודת השבת

  • תהי פונקציה עולה h:P(A)\to P(A) כלומר המקיימת לכל X_1\subseteq X_2 כי h(X_1)\subseteq h(X_2)
  • אזי קיימת נק' שבת K\subseteq A כך ש h(K)=K.

הוכחת המשפט


עוצמות קטעים ממשיים

  • |\mathbb{R}|=|[a,\infty)|=|[a,b]|=|(a,b)|=\aleph


איחוד בן מנייה של קבוצות בנות מנייה

אקסיומת הבחירה ועקרון המקסימום של האוסדורף

אקסיומת הבחירה

  • תהיינה A,B\neq\emptyset אזי |A|\leq |B| אם ורק אם קיימת g:B\to A על.


עקרון המקסימום של האוסדורף

אלף אפס היא העוצמה האינסופית הקטנה ביותר

(בהנחת עקרון המקסימום של האוסדורף)




השוואת עוצמות

סכום ומכפלה של עוצמות אינסופיות שווה לגדולה מבין העוצמות


הקשר בין עוצמת הטבעיים לעוצמת הממשיים

תרגול