שינויים

<math>a</math> נקראת נקודת פיתול אם קיימת סביבה שלה כך שמצד אחד של <math>a</math> הפונקציה גדולה או שווה למשיק ל- <math>a</math>, ובצד השני הפונקציה קטנה או שווה לו.

''';משפט:'''תהי <math>f</math> גזירה פעמיים בסביבת <math>a</math> כך שמצד אחד של <math>a</math> הנגזרת השנייה השניה אי-שלילית ובצד השני אי-חיובית, אזי <math>a</math> נקודת פיתול של <math>f</math>. '''הוכחה:'''

:<math>f(x)=f(a)+f'(a)\cdot (x-a)+\frac{f''(c)}{2}\cdot (x-a)^2</math>.

:<math>f(x)-\Big(f(a)+f'(a)\cdot (x-a)\Big)=\frac{f''(c)}{2}\cdot (x-a)^2</math>

כיון שהנקודה <math>c</math> נמצאת בין <math>x</math> ו- <math>שa</math>, קל להסיק מהנתונים כי ההפרש בין הפונקציה למשיק אי-שלילי מצד אחד, ואי-חיובי מהצד השני ולכן <math>a</math> הנה נקודת פיתול כפי שרצינו. <math>\blacksquare</math>