הבדלים בין גרסאות בדף "נקודת פיתול"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(יצירת דף עם התוכן "==הגדרה== תהי f פונקציה ממשית הגזירה בנקודה a. a נקראת נקודת פיתול קיימת סביבה שלה כך שבצד אחד...")
 
מ
שורה 1: שורה 1:
 
==הגדרה==
 
==הגדרה==
תהי f פונקציה ממשית הגזירה בנקודה a.
+
תהי <math>f</math> פונקציה ממשית הגזירה בנקודה <math>a</math> .
  
a נקראת נקודת פיתול קיימת סביבה שלה כך שבצד אחד של a הפונקציה f גבוהה או שווה למשיק ל-a, ובצד השני הפונקציה קטנה או שווה לו.
+
<math>a</math> נקראת נקודת פיתול אם קיימת סביבה שלה כך שמצד אחד של <math>a</math> הפונקציה גדולה או שווה למשיק ל- <math>a</math>, ובצד השני הפונקציה קטנה או שווה לו.
  
 
==מציאת נקודות פיתול==
 
==מציאת נקודות פיתול==
 
נקודות בהן הנגזרת מתאפסת הן [[סיווג נקודה חשודה|חשודות]] לפיתול, ויש [[סיווג נקודה חשודה|לסווג]] אותן.
 
נקודות בהן הנגזרת מתאפסת הן [[סיווג נקודה חשודה|חשודות]] לפיתול, ויש [[סיווג נקודה חשודה|לסווג]] אותן.
  
'''משפט.'''
+
'''משפט:'''
תהי f גזירה פעמיים בסביבה של a כך שבצד אחד של a בסביבה הנגזרת השנייה אי שלילית ובצד השני אי חיובית, אזי a נקודת פיתול של f.
+
תהי <math>f</math> גזירה פעמיים בסביבת <math>a</math> כך שמצד אחד של <math>a</math> הנגזרת השנייה אי-שלילית ובצד השני אי-חיובית, אזי <math>a</math> נקודת פיתול של <math>f</math>.
  
'''הוכחה.'''
+
'''הוכחה:'''
  
 
לפי [[משפט טיילור עם שארית לגראנז'|טיילור]] מתקיים:
 
לפי [[משפט טיילור עם שארית לגראנז'|טיילור]] מתקיים:
  
::<math>f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(c)}{2}(x-a)^2</math>.
+
:<math>f(x)=f(a)+f'(a)\cdot (x-a)+\frac{f''(c)}{2}\cdot (x-a)^2</math>.
  
 +
ההפרש בין הפונקציה למשיק בנקודה <math>a</math> הנו
  
ההפרש בין הפונקציה למשיק בנקודה a הינו
+
:<math>f(x)-\Big(f(a)+f'(a)\cdot (x-a)\Big)=\frac{f''(c)}{2}\cdot (x-a)^2</math>
  
::<math>f(x)-\Big(f(a)+f'(a)(x-a)\Big)=\frac{f''(c)}{2}(x-a)^2</math>
+
כיון שהנקודה <math>c</math> נמצאת בין <math>x</math> ו- <math>ש</math>, קל להסיק מהנתונים כי ההפרש בין הפונקציה למשיק אי-שלילי מצד אחד, ואי-חיובי מהצד השני ולכן <math>a</math> הנה נקודת פיתול כפי שרצינו. <math>\blacksquare</math>
 
+
כיוון שהנקודה c נמצא בין x לבין a, קל להסיק מהנתונים כי ההפרש בין הפונקציה למשיק אי שלילי בצד אחד, ואי חיובי בצד השני ולכן a הינה נקודת פיתול כפי שרצינו.
+

גרסה מ־23:58, 26 בינואר 2016

הגדרה

תהי f פונקציה ממשית הגזירה בנקודה a .

a נקראת נקודת פיתול אם קיימת סביבה שלה כך שמצד אחד של a הפונקציה גדולה או שווה למשיק ל- a, ובצד השני הפונקציה קטנה או שווה לו.

מציאת נקודות פיתול

נקודות בהן הנגזרת מתאפסת הן חשודות לפיתול, ויש לסווג אותן.

משפט: תהי f גזירה פעמיים בסביבת a כך שמצד אחד של a הנגזרת השנייה אי-שלילית ובצד השני אי-חיובית, אזי a נקודת פיתול של f.

הוכחה:

לפי טיילור מתקיים:

f(x)=f(a)+f'(a)\cdot (x-a)+\frac{f''(c)}{2}\cdot (x-a)^2.

ההפרש בין הפונקציה למשיק בנקודה a הנו

f(x)-\Big(f(a)+f'(a)\cdot (x-a)\Big)=\frac{f''(c)}{2}\cdot (x-a)^2

כיון שהנקודה c נמצאת בין x ו- עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): ש , קל להסיק מהנתונים כי ההפרש בין הפונקציה למשיק אי-שלילי מצד אחד, ואי-חיובי מהצד השני ולכן a הנה נקודת פיתול כפי שרצינו. \blacksquare