הבדלים בין גרסאות בדף "נקודת פיתול"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
מ
שורה 2: שורה 2:
 
תהי <math>f</math> פונקציה ממשית הגזירה בנקודה <math>a</math> .
 
תהי <math>f</math> פונקציה ממשית הגזירה בנקודה <math>a</math> .
  
<math>a</math> נקראת נקודת פיתול אם קיימת סביבה שלה כך שמצד אחד של <math>a</math> הפונקציה גדולה או שווה למשיק ל- <math>a</math>, ובצד השני הפונקציה קטנה או שווה לו.
+
<math>a</math> נקראת נקודת פיתול אם קיימת סביבה שלה כך שמצד אחד של <math>a</math> הפונקציה גדולה או שווה למשיק ל- <math>a</math> , ובצד השני הפונקציה קטנה או שווה לו.
  
 
==מציאת נקודות פיתול==
 
==מציאת נקודות פיתול==
 
נקודות בהן הנגזרת מתאפסת הן [[סיווג נקודה חשודה|חשודות]] לפיתול, ויש [[סיווג נקודה חשודה|לסווג]] אותן.
 
נקודות בהן הנגזרת מתאפסת הן [[סיווג נקודה חשודה|חשודות]] לפיתול, ויש [[סיווג נקודה חשודה|לסווג]] אותן.
  
'''משפט:'''
+
;משפט:
תהי <math>f</math> גזירה פעמיים בסביבת <math>a</math> כך שמצד אחד של <math>a</math> הנגזרת השנייה אי-שלילית ובצד השני אי-חיובית, אזי <math>a</math> נקודת פיתול של <math>f</math>.
+
תהי <math>f</math> גזירה פעמיים בסביבת <math>a</math> כך שמצד אחד של <math>a</math> הנגזרת השניה אי-שלילית ובצד השני אי-חיובית, אזי <math>a</math> נקודת פיתול של <math>f</math> .
 
+
'''הוכחה:'''
+
  
 +
;הוכחה:
 
לפי [[משפט טיילור עם שארית לגראנז'|טיילור]] מתקיים:
 
לפי [[משפט טיילור עם שארית לגראנז'|טיילור]] מתקיים:
  
:<math>f(x)=f(a)+f'(a)\cdot (x-a)+\frac{f''(c)}{2}\cdot (x-a)^2</math>.
+
:<math>f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(c)}{2}(x-a)^2</math>.
  
 
ההפרש בין הפונקציה למשיק בנקודה <math>a</math> הנו
 
ההפרש בין הפונקציה למשיק בנקודה <math>a</math> הנו
  
:<math>f(x)-\Big(f(a)+f'(a)\cdot (x-a)\Big)=\frac{f''(c)}{2}\cdot (x-a)^2</math>
+
:<math>f(x)-\Big(f(a)+f'(a)(x-a)\Big)=\frac{f''(c)}{2}(x-a)^2</math>
  
כיון שהנקודה <math>c</math> נמצאת בין <math>x</math> ו- <math>ש</math>, קל להסיק מהנתונים כי ההפרש בין הפונקציה למשיק אי-שלילי מצד אחד, ואי-חיובי מהצד השני ולכן <math>a</math> הנה נקודת פיתול כפי שרצינו. <math>\blacksquare</math>
+
כיון שהנקודה <math>c</math> נמצאת בין <math>x</math> ו- <math>a</math> , קל להסיק מהנתונים כי ההפרש בין הפונקציה למשיק אי-שלילי מצד אחד, ואי-חיובי מהצד השני ולכן <math>a</math> הנה נקודת פיתול כפי שרצינו. <math>\blacksquare</math>

גרסה מ־12:43, 4 בנובמבר 2016

הגדרה

תהי f פונקציה ממשית הגזירה בנקודה a .

a נקראת נקודת פיתול אם קיימת סביבה שלה כך שמצד אחד של a הפונקציה גדולה או שווה למשיק ל- a , ובצד השני הפונקציה קטנה או שווה לו.

מציאת נקודות פיתול

נקודות בהן הנגזרת מתאפסת הן חשודות לפיתול, ויש לסווג אותן.

משפט

תהי f גזירה פעמיים בסביבת a כך שמצד אחד של a הנגזרת השניה אי-שלילית ובצד השני אי-חיובית, אזי a נקודת פיתול של f .

הוכחה

לפי טיילור מתקיים:

f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(c)}{2}(x-a)^2.

ההפרש בין הפונקציה למשיק בנקודה a הנו

f(x)-\Big(f(a)+f'(a)(x-a)\Big)=\frac{f''(c)}{2}(x-a)^2

כיון שהנקודה c נמצאת בין x ו- a , קל להסיק מהנתונים כי ההפרש בין הפונקציה למשיק אי-שלילי מצד אחד, ואי-חיובי מהצד השני ולכן a הנה נקודת פיתול כפי שרצינו. \blacksquare