הבדלים בין גרסאות בדף "נקודת פיתול"
מתוך Math-Wiki
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) |
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) |
||
| שורה 13: | שורה 13: | ||
לפי [[משפט טיילור עם שארית לגראנז'|טיילור]] מתקיים: | לפי [[משפט טיילור עם שארית לגראנז'|טיילור]] מתקיים: | ||
| − | :<math>f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\ | + | :<math>f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\dfrac{f''(c)}{2}(x-a)^2</math>. |
ההפרש בין הפונקציה למשיק בנקודה <math>a</math> הנו | ההפרש בין הפונקציה למשיק בנקודה <math>a</math> הנו | ||
| − | :<math>f(x)-\Big(f(a)+f'(a)(x-a)\Big)=\ | + | :<math>f(x)-\Big(f(a)+f'(a)(x-a)\Big)=\dfrac{f''(c)}{2}(x-a)^2</math> |
כיון שהנקודה <math>c</math> נמצאת בין <math>x</math> ו- <math>a</math> , קל להסיק מהנתונים כי ההפרש בין הפונקציה למשיק אי-שלילי מצד אחד, ואי-חיובי מהצד השני ולכן <math>a</math> הנה נקודת פיתול כפי שרצינו. <math>\blacksquare</math> | כיון שהנקודה <math>c</math> נמצאת בין <math>x</math> ו- <math>a</math> , קל להסיק מהנתונים כי ההפרש בין הפונקציה למשיק אי-שלילי מצד אחד, ואי-חיובי מהצד השני ולכן <math>a</math> הנה נקודת פיתול כפי שרצינו. <math>\blacksquare</math> | ||
גרסה אחרונה מ־06:19, 14 בפברואר 2017
הגדרה
תהי 
פונקציה ממשית הגזירה בנקודה 
.
נקראת נקודת פיתול אם קיימת סביבה שלה כך שמצד אחד של הפונקציה גדולה או שווה למשיק ל- , ובצד השני הפונקציה קטנה או שווה לו.
מציאת נקודות פיתול
נקודות בהן הנגזרת מתאפסת הן חשודות לפיתול, ויש לסווג אותן.
- משפט
תהי גזירה פעמיים בסביבת כך שמצד אחד של הנגזרת השניה אי-שלילית ובצד השני אי-חיובית, אזי נקודת פיתול של .
- הוכחה
לפי טיילור מתקיים:
.
ההפרש בין הפונקציה למשיק בנקודה הנו
כיון שהנקודה 
נמצאת בין 
ו- , קל להסיק מהנתונים כי ההפרש בין הפונקציה למשיק אי-שלילי מצד אחד, ואי-חיובי מהצד השני ולכן הנה נקודת פיתול כפי שרצינו. 
