נקודת פיתול

הגדרה

תהי $f$ פונקציה ממשית הגזירה בנקודה $a$ .

$a$ נקראת נקודת פיתול אם קיימת סביבה שלה כך שמצד אחד של $a$ הפונקציה גדולה או שווה למשיק ל- $a$ , ובצד השני הפונקציה קטנה או שווה לו.

מציאת נקודות פיתול

נקודות בהן הנגזרת מתאפסת הן חשודות לפיתול, ויש לסווג אותן.

משפט

תהי $f$ גזירה פעמיים בסביבת $a$ כך שמצד אחד של $a$ הנגזרת השניה אי-שלילית ובצד השני אי-חיובית, אזי $a$ נקודת פיתול של $f$ .

הוכחה

לפי טיילור מתקיים:

$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(c)}{2}(x-a)^2$.

ההפרש בין הפונקציה למשיק בנקודה $a$ הנו

$f(x)-\Big(f(a)+f'(a)(x-a)\Big)=\frac{f''(c)}{2}(x-a)^2$

כיון שהנקודה $c$ נמצאת בין $x$ ו- $a$ , קל להסיק מהנתונים כי ההפרש בין הפונקציה למשיק אי-שלילי מצד אחד, ואי-חיובי מהצד השני ולכן $a$ הנה נקודת פיתול כפי שרצינו. $\blacksquare$