סדרת פונקציות

הגדרה

נביט בסדרת פונקציות ממשיות $\{f_n(x)\}_1^\infty$. עבור כל מספר ממשי קבוע $x_0$ מתקבלת הסדרה הממשית $f_n(x_0)$.

נגדיר את פונקצית הגבול $f(x)$ של סדרת הפונקציות $f_n(x)$ באופן הבא:

• אם $f_n(x_0)$ מתכנסת במובן הצר אזי $f(x_0):=\lim_{n\rightarrow\infty}f_n(x_0)$
• אחרת, $x_0$ אינו בתחום ההגדרה של פונקצית הגבול.

מסמנים $f_n(x)\rightarrow f(x)$ ואומרים כי סדרת הפונקציה מתכנסת נקודתית לפונקצית הגבול.

דוגמאות

1.

$f_n(x)=x^n$

$f(x)=\begin{cases}0&|x|<1\\ 1 & x=1 \\ \not\exists & (x\leq -1) \or (x>1)\end{cases}$

2.

$f_n=\frac{1}{n}sin(nx)$

$f(x)\equiv 0$