הבדלים בין גרסאות בדף "סיווג נקודה חשודה"
מתוך Math-Wiki
מ (←סיווג נקודות חשודות) |
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) מ |
||
| שורה 2: | שורה 2: | ||
==הגדרת נקודה חשודה== | ==הגדרת נקודה חשודה== | ||
| − | תהי f פונקציה ממשית. נקודה x בתחום ההגדרה של f נקראת חשודה אם <math>f'(x)=0</math> או שהנגזרת אינה מוגדרת ב-x | + | תהי <math>f</math> פונקציה ממשית. נקודה <math>x</math> בתחום ההגדרה של <math>f</math> נקראת חשודה אם <math>f'(x)=0</math> או שהנגזרת אינה מוגדרת ב- <math>x</math> . |
==סיווג נקודות חשודות== | ==סיווג נקודות חשודות== | ||
| − | '''משפט | + | '''משפט:''' תהי <math>f</math> פונקציה הגזירה '''ברציפות''' <math>n+1</math> פעמים בסביבת הנקודה <math>a</math> . עוד נניח כי |
| − | + | :<math>f'(a)=f''(a)=\ldots=f^{(n)}(a)=0</math> | |
| − | + | :<math>f^{(n+1)}(a)\ne 0</math> | |
אזי: | אזי: | ||
| − | *אם n+1 זוגי וגם <math>f^{(n+1)}(a)>0</math>אזי a '''[[נקודת קיצון|נקודת מינימום מקומי]]''' | + | *אם <math>n+1</math> זוגי וגם <math>f^{(n+1)}(a)>0</math> אזי <math>a</math> '''[[נקודת קיצון|נקודת מינימום מקומי]]'''. |
| − | *אם n+1 זוגי וגם <math>f^{(n+1)}(a)<0</math>אזי a '''[[נקודת קיצון|נקודת מקסימום מקומי]]''' | + | *אם <math>n+1</math> זוגי וגם <math>f^{(n+1)}(a)<0</math> אזי <math>a</math> '''[[נקודת קיצון|נקודת מקסימום מקומי]]'''. |
| − | *אם | + | *אם <math>n+1</math> אי-זוגי אזי <math>a</math> [[נקודת פיתול]]. |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| + | ==='''הוכחה:'''=== | ||
לפי [[משפט טיילור עם שארית לגראנז'|טיילור]] לכל x בסביבה קיימת נקודה c בין x לבין a כך ש: | לפי [[משפט טיילור עם שארית לגראנז'|טיילור]] לכל x בסביבה קיימת נקודה c בין x לבין a כך ש: | ||
| − | + | :<math>f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}+\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}</math> | |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | אבל לפי ההנחה כי <math>n</math> הנגזרות הראשונות מתאפסת ב- <math>a</math>, מתקיים | |
| − | + | :<math>f(x)-f(a)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}</math> | |
| − | + | לכן, אם <math>n+1</math> זוגי וגם <math>f^{(n+1)}(a)>0</math> לפי רציפות הנגזרת השניה קיימת סביבה של <math>a</math> בה <math>f^{(n+1)}>0</math> ולכן לכל <math>x</math> בסביבה זו מתקיים: | |
| + | :<math>f(x)-f(a)\ge 0</math> | ||
| − | + | שכן <math>(x-a)^{(n+1)}\ge 0</math> תמיד עבור <math>n+1</math> זוגי. | |
| − | + | כלומר אם <math>f^{(n+1)}(a)>0</math> אזי <math>x</math> הנה '''[[נקודת קיצון|נקודת מינימום]]'''. | |
| + | באופן דומה, אם <math>f^{(n+1)}(a)<0</math> אזי <math>x</math> הנה '''[[נקודת קיצון|נקודת מקסימום]]'''. | ||
| − | אם n+1 אי זוגי, אזי הסימן של <math>(x-a)^{(n+1)}</math> חיובי בסביבה ימנית של a ושלילי משמאלה. | + | אם <math>n+1</math> אי-זוגי, אזי הסימן של <math>(x-a)^{(n+1)}</math> חיובי בסביבה ימנית של <math>a</math> ושלילי משמאלה. |
| − | + | כיון שסימן <math>f^{(n+1)}</math> קבוע בסביבה של <math>a</math>, סה"כ מצד אחד <math>f(x)>f(a)</math> ומהצד השני <math>f(x)<f(a)</math>. | |
| − | אבל הנגזרת הראשונה מתאפסת ב-a ולכן המשיק הוא <math>y=f(a)</math>, ולכן הפונקציה קטנה ממנו בצד אחד וגדולה ממנו בצד השני ולכן a | + | אבל הנגזרת הראשונה מתאפסת ב- <math>a</math> ולכן המשיק הוא <math>y=f(a)</math>, ולכן הפונקציה קטנה ממנו בצד אחד וגדולה ממנו בצד השני ולכן <math>a</math> הנה '''[[נקודת פיתול]]'''. |
גרסה מ־17:11, 27 בינואר 2016
הגדרת נקודה חשודה
תהי 
פונקציה ממשית. נקודה 
בתחום ההגדרה של נקראת חשודה אם 
או שהנגזרת אינה מוגדרת ב- .
סיווג נקודות חשודות
משפט: תהי פונקציה הגזירה ברציפות 
פעמים בסביבת הנקודה 
. עוד נניח כי
אזי:
- אם זוגי וגם
אזי נקודת מינימום מקומי. - אם זוגי וגם
אזי נקודת מקסימום מקומי. - אם אי-זוגי אזי נקודת פיתול.
הוכחה:
לפי טיילור לכל x בסביבה קיימת נקודה c בין x לבין a כך ש:
אבל לפי ההנחה כי 
הנגזרות הראשונות מתאפסת ב- , מתקיים
לכן, אם זוגי וגם לפי רציפות הנגזרת השניה קיימת סביבה של בה 
ולכן לכל בסביבה זו מתקיים:
שכן 
תמיד עבור זוגי.
כלומר אם אזי הנה נקודת מינימום.
באופן דומה, אם אזי הנה נקודת מקסימום.
אם אי-זוגי, אזי הסימן של 
חיובי בסביבה ימנית של ושלילי משמאלה.
כיון שסימן 
קבוע בסביבה של , סה"כ מצד אחד 
ומהצד השני 
.
אבל הנגזרת הראשונה מתאפסת ב- ולכן המשיק הוא 
, ולכן הפונקציה קטנה ממנו בצד אחד וגדולה ממנו בצד השני ולכן הנה נקודת פיתול.
