שינויים

תהי <math>f </math> פונקציה ממשית. נקודה <math>x </math> בתחום ההגדרה של <math>f </math> נקראת חשודה אם <math>f'(x)=0</math> או שהנגזרת אינה מוגדרת ב-<math>x</math> .

'''משפט.:''' תהי <math>f </math> פונקציה הגזירה '''ברציפות''' <math>n+1 </math> פעמים בסביבת הנקודה <math>a</math> . עוד נניח כי ::<math>f'(a)=f''(a)=...\ldots=f^{(n)}(a)=0</math>

::<math>f^{(n+1)}(a)\neq ne 0</math>

*אם <math>n+1 </math> זוגי וגם <math>f^{(n+1)}(a)>0</math>אזי <math>a </math> '''[[נקודת קיצון|נקודת מינימום מקומי]]'''.*אם <math>n+1 </math> זוגי וגם <math>f^{(n+1)}(a)<0</math>אזי <math>a </math> '''[[נקודת קיצון|נקודת מקסימום מקומי]]'''.*אם 1+<math>n +1</math> אי -זוגי אזי <math>a </math> [[נקודת פיתול]]  '''הוכחה.''' 

::<math>f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+...\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}+\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}</math> אבל לפי ההנחה כי n הנגזרות הראשונות מתאפסת ב-a, מתקיים ::<math>f(x)-f(a)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}</math>

לכן, אם n+1 זוגי וגם אבל לפי ההנחה כי <math>f^{(n+1)}(a)>0</math> לפי רציפות הנגזרת השנייה קיימת סביבה של a בה הנגזרות הראשונות מתאפסת ב- <math>f^{(n+1)}>0a</math> ולכן לכל x בסביבה זו , מתקיים:

::<math>f(x)-f(a)=\geq 0frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}</math>

שכן לכן, אם <math>(x-a)n+1</math> זוגי וגם <math>f^{(n+1)}\geq (a)>0</math> תמיד עבור לפי רציפות הנגזרת השניה קיימת סביבה של <math>a</math> בה <math>f^{(n+1 זוגי.)}>0</math> ולכן לכל <math>x</math> בסביבה זו מתקיים:

כלומר אם שכן <math>f(x-a)^{(n+1)}(a)>\ge 0</math> אזי x הינה '''[[נקודת קיצון|נקודת מינימום]]'''תמיד עבור <math>n+1</math> זוגי.

באופן דומה, כלומר אם <math>f^{(n+1)}(a)<>0</math> אזי <math>x הינה </math> הנה '''[[נקודת קיצון|נקודת מקסימוםמינימום]]'''.

אם <math>n+1 </math> אי -זוגי, אזי הסימן של <math>(x-a)^{(n+1)}</math> חיובי בסביבה ימנית של <math>a </math> ושלילי משמאלה.

כיוון כיון שסימן <math>f^{(n+1)}</math> קבוע בסביבה של <math>a</math>, סה"כ מצד אחד <math>f(x)>f(a)</math> ומהצד השני <math>f(x)<f(a)</math>.

אבל הנגזרת הראשונה מתאפסת ב-<math>a </math> ולכן המשיק הוא <math>y=f(a)</math>, ולכן הפונקציה קטנה ממנו בצד אחד וגדולה ממנו בצד השני ולכן <math>a הינה </math> הנה '''[[נקודת פיתול]]'''.