שינויים
==סיווג נקודות חשודות==
'''משפט:''' תהי <math>f</math> פונקציה הגזירה '''ברציפות''' <math>n+1</math> פעמים בסביבת הנקודה <math>a</math> . עוד נניח כי
:<math>f'(a)=f''(a)=\ldotscdots=f^{(n)}(a)=0</math>
:<math>f^{(n+1)}(a)\ne 0</math>
==='''הוכחה:'''===
לפי [[משפט טיילור עם שארית לגראנז'|טיילור]] לכל <math>x </math> בסביבה קיימת נקודה <math>c </math> בין <math>x </math> לבין <math>a </math> כך ש:
:<math>f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}+\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}</math>
אם <math>n+1</math> אי-זוגי, אזי הסימן של <math>(x-a)^{(n+1)}</math> חיובי בסביבה ימנית של <math>a</math> ושלילי משמאלה.
כיון שסימן <math>f^{(n+1)}</math> קבוע בסביבה של <math>a</math>, סה"כ מצד אחד <math>f(x)>f(a)</math> ומהצד השני <math>f(x)<f(a)</math>.
אבל הנגזרת הראשונה מתאפסת ב- <math>a</math> ולכן המשיק הוא <math>y=f(a)</math>, ולכן הפונקציה קטנה ממנו בצד אחד וגדולה ממנו בצד השני ולכן <math>a</math> הנה '''[[נקודת פיתול]]'''.
