שינויים
==סיווג נקודות חשודות==
'''משפט:''' תהי <math>f</math> פונקציה הגזירה '''ברציפות''' <math>n+1</math> פעמים בסביבת הנקודה <math>a</math> . עוד נניח כי
:<math>\begin{align}f'(a)=f''(a)=\cdots=f^{(n)}(a)=0</math> :<math>\\f^{(n+1)}(a)\ne 0ne0\end{align}</math>
אזי:
לפי [[משפט טיילור עם שארית לגראנז'|טיילור]] לכל <math>x</math> בסביבה קיימת נקודה <math>c</math> בין <math>x</math> לבין <math>a</math> כך ש:
:<math>f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\cdots+\fracdfrac{f^{(n)}(a)}{n!}+\fracdfrac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}</math>
אבל לפי ההנחה כי <math>n</math> הנגזרות הראשונות מתאפסת מתאפסות ב- <math>a</math>, מתקיים
:<math>f(x)-f(a)=\fracdfrac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}</math>
לכן, אם <math>n+1</math> זוגי וגם <math>f^{(n+1)}(a)>0</math> לפי רציפות הנגזרת השניה קיימת סביבה של סביבת <math>a</math> בה <math>f^{(n+1)}>0</math> ולכן לכל <math>x</math> בסביבה זו מתקיים:
:<math>f(x)-f(a)\ge 0ge0</math>
שכן <math>(x-a)^{(n+1)}\ge 0ge0</math> תמיד עבור <math>n+1</math> זוגי.
כלומר אם <math>f^{(n+1)}(a)>0</math> אזי <math>x</math> הנה '''[[נקודת קיצון|נקודת מינימום]]'''.
אם <math>n+1</math> אי-זוגי, אזי הסימן של <math>(x-a)^{(n+1)}</math> חיובי בסביבה ימנית של <math>a</math> ושלילי משמאלה.
כיון שסימן <math>f^{(n+1)}</math> קבוע בסביבה של בסביבת <math>a</math> , סה"כ מצד אחד <math>f(x)>f(a)</math> ומהצד השני <math>f(x)<f(a)</math> .
אבל הנגזרת הראשונה מתאפסת ב- <math>a</math> ולכן המשיק הוא <math>y=f(a)</math> , ולכן הפונקציה קטנה ממנו בצד אחד וגדולה ממנו בצד השני ולכן <math>a</math> הנה '''[[נקודת פיתול]]'''.
