סיווג נקודה חשודה

מתוך Math-Wiki
גרסה מ־11:04, 2 באוגוסט 2012 מאת אריק1111 (שיחה | תרומות) (סיווג נקודות חשודות)

קפיצה אל: ניווט, חיפוש


הגדרת נקודה חשודה

תהי f פונקציה ממשית. נקודה x בתחום ההגדרה של f נקראת חשודה אם f'(x)=0 או שהנגזרת אינה מוגדרת ב-x

סיווג נקודות חשודות

משפט. תהי f פונקציה הגזירה ברציפות n+1 פעמים בסביבת הנקודה a. עוד נניח כי

f'(a)=f''(a)=...=f^{(n)}(a)=0
f^{(n+1)}(a)\neq 0

אזי:


הוכחה.


לפי טיילור לכל x בסביבה קיימת נקודה c בין x לבין a כך ש:

f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+...+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}+\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}

אבל לפי ההנחה כי n הנגזרות הראשונות מתאפסת ב-a, מתקיים

f(x)-f(a)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}

לכן, אם n+1 זוגי וגם f^{(n+1)}(a)>0 לפי רציפות הנגזרת השנייה קיימת סביבה של a בה f^{(n+1)}>0 ולכן לכל x בסביבה זו מתקיים:

f(x)-f(a)\geq 0

שכן (x-a)^{(n+1)}\geq 0 תמיד עבור n+1 זוגי.


כלומר אם f^{(n+1)}(a)>0 אזי x הינה נקודת מינימום

באופן דומה, אם f^{(n+1)}(a)<0 אזי x הינה נקודת מקסימום


אם n+1 אי זוגי, אזי הסימן של (x-a)^{(n+1)} חיובי בסביבה ימנית של a ושלילי משמאלה.

כיוון שסימן f^{(n+1)} קבוע בסביבה של a, סה"כ מצד אחד f(x)>f(a) ומהצד השני f(x)<f(a).

אבל הנגזרת הראשונה מתאפסת ב-a ולכן המשיק הוא y=f(a), ולכן הפונקציה קטנה ממנו בצד אחד וגדולה ממנו בצד השני ולכן a הינה נקודת פיתול