שינויים

# פונקציונלים והמרחב הדואלי. משפט ריס (במימד סופי).

== 88-132 חשבון אינפינטיסימלי אינפיניטסימלי 1 ==

== 88-133 חשבון אינפינטיסימלי אינפיניטסימלי 2 ==

## תכונות כלליות### התכנסות נקודתית ובמידה שווה. ### רציפות הפונקציה הגבולית.### גזירה איבר-איבר.## טורי חזקות### התכנסות והתכנסות במידה שווה של טורי חזקות.### רדיוס ההתכנסות. ### גזירה של טורי חזקות.### פיתוח פונקציות אלמנטריות לטורי חזקות.### חישובים מקורבים בעזרת טורי חזקות.## טורי פוריה### הגדרה של טור פורייה.### הוכחה שטור פורייה של פונקציה גזירה ברציפות פעמיים מתכנס ושואף אליה. הרחבה לפונקציות גזירות ברציפות.### דוגמאות.### מכפלה פנימית, אורטוגנאליות, נורמה, שוויון פרסבל (ללא הוכחה). יתרונות וחסרונות לעומת טורי חזקות.### חישוב סכומים של טורי מספרים בעזרת טורי פורייה.

# הקדמה כללית ל-Maple ול-מבוא לתכנות. נלמד בשפת Matlab(כשישה שעורים)## משתנים, תנאים ולולאות. היכרות עם הממשקים## פונקציות. דוגמה מרכזית: העברת מספרים שלמים בין בסיסים. # משתנים והשמה# מערכים כמבנה נתונים. סוגים שונים של משתנים ב-Maple, בניית מטריצות ב-Matlabחיפוש ומיון:### חיפוש לינארי. # תיכנות ## חיפוש בינארי.### מיון פשוט: for, if, while וכו'ובועות.# פונקציות ב# יעילות ויעילות זכרון. סימון O גדול וכדומה.## רקורסיות.### מיון מיזוג.### יעילות של רקורסיה -Maple ובנוסחאות נסיגה.# שימושים מתמטיים -Matlabשיטות נומריות## אלגברה לינארית### ווקטורים ומטריצות, פעולות.### פתרון משוואות: הפונקציות הסטנדרטיות הרלוונטיות מערכות לינאריות. ריבועים מינימאלים (solve ו-fsolve ב-Maple, fzero ו- roots ב-MatlabLS).### ערכים ווקטורים עצמיים, שיטת ניוטוןליכסון.# נקודות קיצון## FFT.## אינפי### חקירת פונקציות וגרפיקה. דוגמה מרכזית: פתרון בעיות אנליטיות מיון של עקומות רבועיות ב1-Maple, שימוש ב-fminsearch ב-Matlab3 מימדים.# אינטגרציה: ## פתרון בעיות אנליטיות ב-Maple, quad ו-dblquad ב-Matlab, כלל הטרפזמשוואות ומציאת מינימום.# כלים אחרים לחדו## אינטגרציה נומרית.### מד"א ב-Mapleר. גבולות, סדרות, טורים, סכומים, מכפלות, טורי טיילור וכו'### הסתברות וסטטיסטיקה. דוגמה מרכזית: רגרסיה לינארית והקשר בין MLE ל LS.# כלים לאלגברה ליניארית חישוב סימבולי (ב-Matlab. דגש על (א\MuPad\Maple) הפתרון של מערכות ליניאריות, במקרים של חוסר ועודף אילוצים בנוסף למקרה המאוזן ו-(ב) מציאת ערכים וווקטורים עצמיים## הרעיון מאחורי חישוב סימבולי. פתרון נוסחאות נסיגה למשוואה הומוגניתשימושים פשוטים עם Wolfram alpha.# גרפיקה ב-Maple וב-Matlab# משתנים, תנאים ולולאות. כלים שונים לייצור איורים דו- ותלת-מימדיים## אלגברה לינארית.# גאומטריה אנליטית# אינפי. פתרון בעיות עם נקודות, ישרים, מעגלים, מישורים וכו' הערה: הקורס כולל ארבעה נושאים מתמטיים אשר אינם נילמדים בקורסים אחרים:# העברת מספרים שלמים בין בסיסים. המיון # נוסחאות נסיגה.# מיון של עקומות ריבועיות במישור ומשטחים ריבועיים במרחברבועיות ב 1-3 מימדים.# רגרסיה לינארית והקשר בין MLE ל LS.

'''שעות'''. 4 הרצאה + 2 תרגיל. סמסטר ב' (קיץ לתלמידי התיכון).

# [אופציונאלי: ] שרשראות מרקוב סופיים(על מרחב מצבים סופי): דוגמאות, התפלגות סטציונרית, הסתברויות ספיגה ותוחלת של זמן המתנה.

# לוגיקה 2 (תחשיב הכמתים): הסבר לא פורמלי של המושגים: נוסחה, כללי היסק(עם דוגמאות), הוכחה, הוכחה בדרך השלילה; . אינדוקציה, לרבות אינדוקציה שלמה, ודוגמאות.

# עוצמות: שוויון עוצמות, קבוצה סופית/אינסופית, המלון של הילברט; השוויון מוגדר היטב והוא יחס שקילות בין עוצמות; אי-שוויון בין עוצמות ועקרון שובך היונים (כולל דוגמאות קומבינטוריות); קבוצה בת-מניה, אלף-אפס הוא הקטן מכל העוצמות האינסופיות; הקשר בין עוצמות כשיש פונקציה על (דורש את אקסיומת הבחירה?), משפט קנטור-ברנשטיין; עוצמת הרציונליים, איחוד בן-מניה של קבוצות בנות-מניה הוא בן-מניה; משפט קנטור על עוצמת קבוצת החזקה, עוצמת הרצף.# פעולות בין עוצמות: חיבור, כפל וחזקה של עוצמות - הגדרה ותכונות בסיסיות (רק מה שלא דורש את אקסיומת הבחירה), אריתמטיקה של עוצמות, העדר צמצום בחיבור וכפל עוצמות.# תורת הגרפים(משך: כשבוע וחצי): מבוא - בעית גשרי קניגסברג; גרף מכוון (יחס), גרף לא מכוון כיחס סימטרי וכקבוצה עם אוסף זוגות לא סדורים, לולאות וצלעות כפולות, תת-גרף, שכנות, מסלול, גרף קשיר, רכיבי קשירות, מסלול ומעגל אוילר, קריטריון לקיום מסלול או מעגל אוילר, מסלול ומעגל המילטוני; משפחות מיוחדות של גרפים: גרף שלם ומס' צלעותיו, גרף דו-צדדי, גרף דו-צדדי שלם ומס' צלעותיו, עץ, יער, תנאים שקולים לעץ. אם נותר זמן, צביעת קודקודים. לתשומת לב המרצה: קומבינטוריקה מכוסה ב-88-165; נוסחאות נסיגה ב-88-151; הלמה של צורן ב-88-222 וב-88-202. לסטודנטים: אתם מוזמנים לקרוא על [[הלמה של צורן]] ושימושיה לחישובי עוצמות, בקישור.

# גאומטריה אנליטית (3-4 שבועות)## ווקטורים במישור ובמרחב. המכפלות המכפלה הסקלרית, והמכפלה הווקטורית והמשולשת. שטח תבניות ריבועיות. וקטור עצמי של מקבילית ונפח של מקבילוןמטריצה סימטרית, אופרטור צמוד לעצמו. שיקופים# חתכי חרוט: אליפסה, סיבובים והחבורה האוקלידיתהיפרבולה ופרבולה. משטחים ריבועיים (מיון ניתן בקורס [[88-151 שימושי מחשב|אחר]]). ה-Hessian. נקודות אוכף.## גאומטריה של המישור: עקומות (הצגות מפורשות, סתומות ופרמטריות). המיון אורך של עקומות ריבועיותעקומה. תכונות גאומטריות של מעגלים, אליפסות, היפרבולות ופרבולות. קואורדינטות קוטביותחישוב העקמומיות דרך הצגה פרמטרית והצגה סתומה.## גאומטריה תלת-מימדית: ישרים ומישורים במרחב. משוואות של עקומות ומשטחים במרחב. המיון של משטחים ריבועיים. קואורדינטות קוטביות וגליליותמישור משיק.# גאומטריה דפרנציאלית (6 שבועות)## עקומות במרחב: התבנית היסודית הראשונה, אורך, שקילות של עקומות, עיקום, עיקול ומשוואות פרנה-סרהושטח. המשפט היסודי הסכם הסיכום של עקומותאיינשטיין. היעקוביאן.#קואורדינטות כדוריות. משטחי סיבוב. מקדמי גמא.# משטחיםמבוא לגאומטריה ספרית: המישור המשיקישרים ספריים, התבנית היסודית הראשונהמשולשים ספריים (חוק הסינוסים, אורך ושטחשטח). # יחס קלארו והמשוואה הגאודזית. קווים קוים גאודזיים (כנקודות שבת של האנרגיה)על משטחי סיבוב. העתקת גאוס, ויינגרטן.# התבנית היסודית השניה. עקמומיות גאוס. # בועות סבון, עיקום נורמליקרומי סבון, עיקום עיקרי, עיקום גאוס ועיקום ממוצעמשטחים מינימליים. עקמומיות ממוצעת.# המשפט של גאוס Theorema Egregium והמושג של גאומטריה עצמית. (לפי זמן – משוואות Mainardi-Codazzi והמשפט היסודי של משטחים). # דוגמאות והכללותעקמומיות מסומנת של עקומות, אינדקס של רוטציה. מטריקה היפרבולית על חצי המישור העליון (3אם נשאר זמן -4 שבועות)## גאומטריה ספריתמבוא לגאומטריה היפרבולית: ישרים ספרייםגאודזים, משולשים ספריים (חוק הסינוסיםהיפרבוליים, חוק הקוסינוסים, שטחחבורת האיזומטריות; מודל פואנקרה), הטלה סטראוגרפית, טרנספורמציות מוביוס. ## מבוא לגאומטריה היפרבולית: המודלים של פאונקרה למישור ההיפרבולי והמטריקות שלהם. קווים גאודזיים. משולשים היפרבולים (חוק הסינוסיםשריגים, חוק הקוסינוסים, שטח). חבורת האיסומטריותטורוסים. ## גאומטריה ללא מטריקה: אקסיומות לגאומטריה היפרבולית. מרחב אפיני ומרחב פרוייקטיבי. אקסיומות לגאומטריה פרוייקטיביתהעתקת גאוס, משפט גאוס-בונה, דריבציות.

'''שעות'''. 3 הרצאה + 2 תרגיל. סמסטר א' (קיץ לתלמידי התיכון).

== 88-230 חשבון אינפינטיסימלי אינפיניטסימלי 3 ==

# טורי חזקות ושיםושיהםושימושיהם.

== 88-236 חשבון אינפינטיסימלי אינפיניטסימלי 4 ==

'''שעות'''. 3 הרצאה + 1 2 תרגיל. סמסטר ב'. קורס באנליזה וקטורית ואינטגרציה על עקומות ומשטחים. '''מטרה עיקרית של הקורס היא ללמד את משפטי גרין, גאוס (משפט הדיברגנץ) וסטוקס'''.

# אינטגרלים קווים(3. 5 שבועות) אינטגרלים קוויים ב-<math>\ \mathbb{R}^n</math>: מסילה בעלת אורך, מסילה חלקה למקוטעין, פרמטריזציה של מסילות. אינטגרל של פונקציה לפי אורך המסילה. תבנית לינארית דיפרנציאלית ושדה וקטורי. תבנית דיפרנציאלית סגורה, ותבנית תבנית דיפרנציאלית מדוייקת, שדה משמר (שדה פוטנציאל). אינטגרל קווי של תבנית דיפרנציאלית (או של שדה וקטורי). אינטגרל של פונקציה לפי אורך המסילה. למת פואנקרה, משפט גרין במישור.# (3.5 שבועות) אינטגרלים משטחיים ב-<math>\ \mathbb{R}^n</math>: משטח k-מימדי ב-<math>\ \mathbb{R}^n</math>. הצגה פרמטרית של משטח, הצגה של משטח נתון להטלהכגרף, הצגה של משטח ע"י מערכת משוואות. מרחב משיק למשטח בנקודה. היפר-משטחים חלקים למקוטעין, נורמל להיפר-משטח בנקודה. חישוב שטח של משטח. אינטגרל משטחי עבור משטחים חלקים למקוטעיןשל פונקציה לפי שטח. שימושים כגון חישוב מסה של משטח ומרכז כובד. אופרטורים דיפרנציאליים: האופרטור "דל" ככלי להגדרת הגרדיינט, הדיוורגנץ והרוטור. משפט גאוס ומשפט סטוקס ומובנם הפיזיקלי# תבניות דפרנציאליות (3 שבועות) משפט הדיברגנץ ב-<math>\ \mathbb{R}^n</math>: העתקות רבשטף של שדה ווקטורי דרך היפר-לינאריותמשטח. דיברגנץ של שדה ווקטורי. משפט הדיברגנץ. שימושים (נוסחאות גרין, סימטריות ואנטיסימטריותפונקציות הרמוניות). תבניות דפרנציאליות# (3 שבועות) משפט סטוקס ב-<math>\ \mathbb{R}^3</math>: משטח בעל אוריינטציה. משטח עם שפה, האופרטור "d” כהכללה אוריינטציה מושרית על השפה. רוטור של האופרטור "דל"שדה ווקטורי. משפט סטוקס הכללי.

# המושג של משוואה דיפרנציאלית רגילה (מד''"ר), מיון ודוגמאות.

## מד''"ר מסדר ראשון ליניאריות הומוגניות.## מד''"ר ליניארית מסדר ראשון ליניאריות לא הומוגניות ( שיטת וריאציות מקדמים)## מד''"ר מסדר ראשון לא ליניאריות, הפרדת המשתנים, משוואות מדויקות, גורם אינטגרציה.## צורה כללית של מד''"ר , פתרון כללי, פתרון סינגולרי, תנאי התחלה, בעיית קושי.

## משפט קיום ויחידות של מד''"ר מסדר ראשון.

## מד''"ר ליניאריות הומוגניות מסדר n >1 עם מתקדמים קבועים.

## מד''"ר לינאריות לא הומוגניות מסדר 1<n עם מקדמים קבועים - שיטת הבחירה.

1 # הקדמה. טורי פונקציות ותכונותיהם;אינטגרלים תלויים בפרמטר; גבול של אינטגרל התלוי בפרמטר ;שינוי סדר אינטגרציה באינטגרלים כפולים.2 # התמרת פוריה במרחב . משפט עזר של רימן-לבג;התמרת פוריה במרחב ותכונות ראשונות שלה;שיטות ישירות לחישוב התמרת פוריה;ערך ראשי של אנטגרל לא אמיתי; חישוב התמרת פוריה בעזרת שיטת השאריות.3 # אינטגרל פוריה. אינטגרל פוריה למחלקות Holder; אינטגרל פוריה לפונקציות חלקות למקוטעין; אינטגרל פוריה בצורה ממשית; הנוסחה האינטגרלית של פוריה וערך ראשי של אינטגרל; ניתוח המשפטים היסודיים.4 # היפוך של התמרת פוריה במרחב . נוסחה אינטגרלית של פוריה, התמרת פוריה וההיפוך שלה; משפטים נוספים להיפוך של התמרת פוריה; היפוך של התמרת פוריה בעזרת שיטת השאריות; תכונות יסודיות של התמרת פוריה ויישומים שלהן; משפט השיכון (lmbedding) של סובלב, חלקות הפונקציה ותכונות של התמרת פוריה שלה; תכונות.5 # התמרות סינוס וקוסינוס. הנוסחה האינטגרלית של פוריה לפונקציות זוגיות ואי-זוגיות; פיתוח פונקציות המוגדרות בחצי-ציר לאינטגרל פוריה. התמרות סינוס וקוסינוס - תכונות שלהן והיפוך; מציאת התמרות סינוס וקוסינוס בעזרת שיטת השאריות; ישומי התמרות סינוס וקוסינוס, התמרות פוריה לפתרון של בעית קושי למשוואות דיפרנציאליות רגילות.6 # התמרת פוריה במרחב . תכונות יסודיות של מרחב . משפט Plancherel. שוויון של Parseval; משפט Plancherel לגבי היפוך של התמרת פוריה; משפט Plancherel במרחב ; חישוב אינטגרלים והשוויון של Parseval; פתרון המשוואה האינטגרלית של Fredholm מסוג ראשון.7 # כריכה ויישומיה. כריכה ותכונות יסודיות שלה; משפט Borel; משוואות אינטגרליות של Fredholm מסוג שני מסוג כריכה, פתרונן בעזרת שיטות פוריה.8 # התמרת לפלס. מקורות ותמונות; מרחב המקורות; מעריך גידול וחשיבותו;תמונה ותכונות יסודיות שלה; תכונות יסודיות של התמרת לפלס.9 # התמרת לפלס. תכונות יסודיות של התמרת לפלס (המשך).10 # כריכה ותכונותיה. תכונות יסודיות של כריכה במרחב מקורות; משפט Borel; נוסחאות של Duhamel; פונקצית הגמה של Euler. תכונות ויישומים.11 # היפוך של התמרת לפלס. המשפט של Mellin. משפט היחידות; דרישות מספיקות שמגדירות את התמונה; היפוך של התמרת לפלס בעזרת שיטת השאריות; משפט הפיתוח – דוגמאות; היפוך תמונות רציונאליות; היפוך התמרת לפלס בעזרת התכונות הכלליות שלה; פתרון משוואות אינטגרליות ומערכת משוואות אינטגרליות מסוג כריכה בעזרת התמרת לפלס.12 # התמרת לפלס ומשוואות דיפנרציאליות רגילות. פתרון של בעית קושי למשוואה דיפנרציאלית לינארית רגילה עם מקדמים קבועים, בעזרת יישום ישיר של התמרת לפלס ובעזרת המשפטים של Borel ו-Duhamel; שיטות טכניות שמפשטות דרך לפתרון; פתרון בעית קושי למערכת משוואות דיפנרציאליות לינאריות רגילות עם מקדמים קבועים – בעזרת ישום ישיר של ההתמרת לפלס ובעזרת המשפטים של Borel ו- Duhamel.

== 88-341 אנליזה מודרנית 1 ==

1 # מבוא לתורת לבג: א. ## מידת לבג על הממשיםהממשיים. ב. ## קבוצות מדידות לבג וקבוצות בורל. ג. ## קבוצות לא מדידות. ד. מרחבים מדידים ## מרחבי מידה ומידות כלליות. ה. ## פונקציות מדידות. ו. ## אינטגרל לבג. ז. משפטי התכנסות2 גזירה ואינטגרציה. א. משפט הגזירה של לבג. ב. פונקציות בעלות השתנות חסומה. ג. רציפות בהחלט. ד. הכללת המשפט היסודי. ה. ## השוואה עם אינטגרל של רימן.3 אינטגרל כפול## משפטי התכנסות. א. בנית מידת המכפלה. ב. ## משפטי פוביני וטונלי.4 # מבוא לאנליזה פונקציונלית.: א. ## מרחבים נורמים לינאריים נורמיים ומרחבי בנך. ב. מרחבי ## המרחב <math>L^p</math>. ג. ## אי- שוויוני שיוויוני הולדר ומינקונסקיומינקובסקי. ד. ## מרחבי מכפלה פנימית ומרחבי הלברטהילברט. ה. טרנספורמציות ליניאריות ורציפות. ו. ## משפט ההצגה של ריס במרחבי הלברטהילברט. ז## משפט לבג רדון ניקודים. # גזירה ואינטגרציה:## משפט הגזירה של לבג.## פונקציות בעלות השתנות חסומה.## רציפות בהחלט.## אינטגרל של נגזרת. הכללת המשפט היסודי.## משפט הפירוק של לבג רדון ניקודים.

‎# הלמה של בורל-קנטלי.

# ראשוניים (קיומם של אינסוף ראשוניים, מקרים אלמנטריים של משפט דיריכלה). התפלגות הראשוניים: משפט המספרים הראשוניים.

== 88-833 אנליזה מודרנית 2 פונקציונלית ==(לשעבר "אנליזה מודרנית 2").

# אופרטורים מרחבים לינאריים: הגדרות ותכונות כלליותנורמיים.# עקרונות אנליזה פונקציונליתאיזומטריה של מרחבים.# אופרטורים צמודיםספרביליות. שלמות. משפט ההשלמה.# אופרטור צמוד לעצמומרחבי הילברט.# מרחבים אינווריאנטייםאורתוגונליות. קירוב טוב ביותר.# ערכים עצמיים וווקטורים עצמיים של אופרטור צמוד לעצמובסיסים אורתונורמליים.# הספקטרום קומפקטיות. משפט ארצלה.# פונקציונלים לינאריים.# משפט ההצגה של אופרטור צמוד לעצמוריס.# אופרטורים צמודים לעצמם אינטגרלייםהמרחב הצמוד. התכנסות חלשה ובנורמה.# משפט האן-בנך.# אופרטורים סימטריים לא חסומיםלינאריים.# אלגברה של אופרטורים סימטריים דיפרנציאליים. אופרטורים הפיכים.# ספקטרום של אופרטור.# אופרטורים קומפקטיים: הגדרות ותכונות כלליותעם דרגה סופית.# אופרטורים קומפקטיים במרחב הילברט.# הספקטרום משפט האלטרנטיבה של פרדהולם.# אופרטורים צמודים לעצמם.# משפט הילברט על אופרטור קומפקטי צמוד לעצמו.# פיתוח ערכי האופרטור לטור האיברים העצמיים.# משוואות אינטגרליות עם גרעין סימטריאופרטורים אינטגרליים.